第7章方差分析-II7. 2 双向交叉分组-有重复资料
7.2 双向交叉分组-有重复资料 第7章 方差分析-Ⅱ
在因子A和因子B的每个水平组合中资料模式：7.2.1都有n个观测值A的总和A的平均B1BAA1X111,X112..X11nX1q1, X1q2...X1qnX1.XI.:X11X1g'..Xp11,Xp12...Xp1nXpq1,Xpq2...XpqnXApXp1:XpqB的总和X. 1X. qX.:B的平均x.x..X.1.q
7.2.1 资料模式： B的平均 . B的总和 x.1. . x.q. x. X1. . Xp. A1 . Ap A B1 . Bq A的总和 A的平均 . . . 1 p x x x. . . 1 x . . q x x111,x112.x11n x11. x1q1,x1q2.x1qn x1q. . xp11,xp12.xp1n xp1. xpq1,xpq2.xpqn xpq. . . . 在因子A和因子B的每个水平组合中 都有n个观测值
在进行双向分类资料的方差分析时，除了要注意分析每个处理因子的作用以外，还要注意分析它们之间的交互作用有重复和无重复资料方差分析的主要区别：利用有重复发资料可以分析两因子各水平之间的交互作用。7.2.2 交互作用定义：个简称互作，指两个或两个以上因素之间相互作用效应的简称，也称交互作用
在进行双向分类资料的方差分析时，除了要注意 分析每个处理因子的作用以外，还要注意分析它 们之间的交互作用。 有重复和无重复资料方差分析的主要区别： 利用有重复发资料可以分析两因子各水平之间的 交互作用。 7.2.2 交互作用 定义：简称互作，指两个或两个以上因素之间相 互作用效应的简称，也称交互作用
互作产生的原因：每个因子并不是独立地对观测值起作用，两因子不同水平的组合也会起作用，从而使得一个因子的某个水平在另一个因子的不同水平中有不同的效应；或者说，一个因子不同水平的效应的相对大小并不是恒定的，而是随着另一因子的不同水平而变化，有时会得到增强，有时会减弱，甚至出现相反的情况
互作产生的原因： 每个因子并不是独立地对观测值起作用，两 因子不同水平的组合也会起作用，从而使得一个 因子的某个水平在另一个因子的不同水平中有不 同的效应； 或者说，一个因子不同水平的效应的相对大 小并不是恒定的 ，而是随着另一因子的不同水 平而变化，有时会得到增强，有时会减弱，甚至 出现相反的情况
例如：某一实验，A因素有ao、a,两种处理，B因素有bo、b,两种处理。因素总和因素Aar-aoBaoa1821018bo12bi6(2)18(14)30(26)2028总和48(44)48(4)Br-bo
例如：某一实验，A因素有a0、a1两种处理，B因 素有b0、b1两种处理。 因素 B 因素A a0 a1 总和 a1 - a0 b0 b1 8 10 12 18(14) 18 30(26) 2 6(2) 总和 20 28 48(44) B1 -b0 4 8(4)
称为a,与a比较的简单效应ai-ao:称为b,与b.比较的简单效应。bi-bo:上表a1-ao在bo条件下为2，在b,条件下为6;bi-bo在ao条件下为4，在ai条件下为8，说明因子B（或因子A）的效应，随因子A（或因子B）的不同而不同，称为A、B因子之间存在着互作，表示为A*B。正互作：互作结果为正值负互作：互作结果为负值
a1 -a0：称为a1与a0比较的简单效应。 b1 -b0：称为b1与b0比较的简单效应。 上表a1 -a0 在 b0 条件下为2，在b1 条件下为6； b1 -b0 在 a0 条件下为4，在a1 条件下为8，说明因子 B（或因子A）的效应，随因子A（或因子B）的不 同而不同，称为A、B因子之间存在着互作，表示 为A*B。 正互作：互作结果为正值。 负互作：互作结果为负值
如果将上述资料中的a,b,组合的数值改为14，那么因子A两处理间的简单效应相同，都是2，说明b1bo与ai,a,的条件无关，这种情况称为无互作。在无互作的情况下，着重分析的是每个因子的主效应。主效应：指每个因子简单效应的平均。在有互作存在的情况下，既要分析因子的主效应，又要分析因子之间的互作效应
如果将上述资料中的a1b1组合的数值改为14，那么 因子A两处理间的简单效应相同，都是2，说明b1 - b0 与a1 ,a1的条件无关，这种情况称为无互作。 在无互作的情况下，着重分析的是每个因子的主效 应。 主效应：指每个因子简单效应的平均。 在有互作存在的情况下，既要分析因子的主效应， 又要分析因子之间的互作效应
日增重品种甲品种乙0BA饲料无互作日增重品种甲品种乙0AB饲料有互作
0 A B 日 增 重 品种甲 品种乙 饲料 无互作 0 A B 日 增 重 品种甲 品种乙 饲料 有互作
当存在两因子之间的互作时，在一个水平组合中的观测值除了受到两个因子本身的影响以外，还受到它们之间的互作效应的影响，此外还可能由于随机误差的存在使各观测值间产生变异。在双因子无重复的资料中，是把互作效应合并到误差项中了，如果互作效应较小，这样做是可以的。但是如果互作效应较大，估计的误差就会混杂有系统误差而失去准确性，增加犯Ⅱ型错误的概率。所以在双因子以上的实验中，还要检验互作的显著性。因此就要设置重复，每一处理组合有了重复观察值，不仅能得到误差的正确估计，而且检验互作的显著性
当存在两因子之间的互作时，在一个水平组合中的观测值 除了受到两个因子本身的影响以外，还受到它们之间的互 作效应的影响，此外还可能由于随机误差的存在使各观测 值间产生变异。 在双因子无重复的资料中，是把互作效应合并到误差项中 了，如果互作效应较小，这样做是可以的。 但是如果互作效应较大，估计的误差就会混杂有系统误差 而失去准确性，增加犯II型错误的概率。 所以在双因子以上的实验中，还要检验互作的显 著性。因此就要设置重复，每一处理组合有了重 复观察值，不仅能得到误差的正确估计，而且检 验互作的显著性
Xi, =u+α, +β, +eij7. 2. 3数学模型Xj = μ+a;+ejXijk =μ+α, +β, +Yu, +eijki=1,2..... p;j=1,2... q;k =1,2.....n;Xik：因子A的第i个水平和因子B的第j个水平组合中的第k个观察值；u：总平均;α：因子A的第i个水平的效应；α,=0β：因子B的第j个水平的效应;Zβ,=0Yi：A因子第i个水平和B因子第j个水平的互作效应；Zr，=Zr=0随机误差，假设e～N（O，α2），且彼此独立。eijki
ijk i j i j ijk X = + + + + e 7.2.3 数学模型 ：随机误差，假设 ～ （ ， ），且彼此独立。 ： 因子第 个水平和 因子第 个水平的互作效应； ：因子 的第 个水平的效应； ：因子 的第 个水平的效应； ：总平均； ：因子 的第 个水平和因子 的第 个水平组合中的第 个观察值； ， ； ， ， ； ， ， ； 2 0 0 0 0 1 2 . 1 2 . 1 2 . e e N A i B j r r B j A i X A i B j k k n j q i p ijk i j j i j i i j i j j j i i ijk = = = = = = = i j i j i j x = + + + e ij i ij X = + a + e