《电磁学》课程教学资源（课堂拓展）关于广义电流的一些见解

关于广义电流的讨论

关于广义电流的讨论

在本次讨论中将由以下三部分构成·广义电流表达式的推导由广义电流解决一个理论问题·广义电流在实际问题中的应用

在本次讨论中将由以下三部分构成： • 广义电流表达式的推导 • 由广义电流解决一个理论问题 • 广义电流在实际问题中的应用

介质分界面上的自由电荷问题如左图所示一对极板接在恒定电压U上，中间由厚度，电导率和介电常数已知的介质填充。求分界面上的自由电荷。解过此问题之后的思考是两电介质界面上为什么会有自由电荷

介质分界面上的自由电荷问题 如左图所示一对极板接 在恒定电压U上，中间由 厚度,电导率和介电常数已 知的介质填充。求分界面 上的自由电荷。 解过此问题之后 的思考 是两电介质界面上为什么 会有自由电荷

这个问题是不能从稳态过程出发来考虑的，因为自由电荷的积累只决定于传导电流的差值，但稳态过程中传导电流的差值是零。因此，要解决这一问题必须首先找到一个稳恒量，然后从暂态过程出发，由它列出方程求解。下面就从最一般的情况给出位移电流和广义电流表达式。取任意一个分界面（它可以是导体、理想电介质及漏电电介质中任意组合的分界面），沿其表面取一高度趋零，底面积很小且分居分界面两侧的Gauss柱面。由Gauss定理：[(E, -E)·ds-Q0所以：aEOEdQJJ.ds=60atdtat

这个问题是不能从稳态过程出发来考虑的，因为自由电 荷的积累只决定于传导电流的差值，但稳态过程中传导电 流的差值是零。因此，要解决这一问题必须首先找到一个 稳恒量，然后从暂态过程出发，由它列出方程求解。下面 就从最一般的情况给出位移电流和广义电流表达式。 取任意一个分界面（它可以是导体、理想电介质及漏电 电介质中任意组合的分界面），沿其表面取一高度趋零,底 面积很小且分居分界面两侧的Gauss柱面。  − • = 0 2 1 ( )  Q E E dS Gauss    由 定理：  •   −   = dS t E t E dt dQ    ( ) 2 1 0  所以：

高斯面内自由电荷的变化应为：dQ(自由电荷)=-[[(G,-j)·dsdt高斯面内束缚电量的变化可如下求出：apaP2dQ(束缚电荷)-[(.dsdtatat总电量的变化就应表达为：ap,apd2+j.)]·ds-Jj(i2atatdt于是就得到：COEap,OEapJ(JJrj.)·ds+ j2).ds =atatatat

高斯面内自由电荷的变化应为：  = − j − j • dS dt dQ    ( ) ( ) 2 1 自由电荷 高斯面内束缚电量的变化可如下求出： dS t P t P dt dQ    •   −   = −( ) ( ) 束缚电荷 2 1 总电量的变化就应表达为：  + •   + −   = − j dS t P j t P dt dQ      [( ) ( )] 1 1 2 2 于是就得到：   + •   +   + • =   +   j ds t P t E j ds t P t E         ( ) ( ) 1 0 1 2 0 2 2  

这就给出了一个连续不变量：apCOE(广义)(传导)二Xatatj(广义)·ds = 0它满足：下面就利用这个守恒量来定量的解决所提问题

这就给出了一个连续不变量： 它满足： 下面就利用这个守恒量来定量的解决所提问题 ( ) ( ) 广义 0 j 传导 t P t E j     +   +   =  ( )  0  j dS   广义

在从开始充电往后的整个过程中，都有广义电流连续性成立(广义)·ds=0将其具体展开得：dizdi+i).ds = 0j2)-(608iPi+(6062P2dtdt这里要说明的是：所取的封闭高斯柱面高度趋零，两底面积很小但不为零，是一个面积微分，这就足以保证电流密度仅仅是时间的函数而与空间无关（但对各向同性的介质可不加此限制）diz哑AS = 0于是就得到：+ j2)-(6061Pl+j)(6062P2dt业山业+Jj2= C(t)5002P2所以有:+ji =C(t)606P1C(t)是关于时间的函数,后面将给出C(t)的物理含义

在从开始充电往后的整个过程中，都有广义电流连续性成立。 将其具体展开得： 这里要说明的是：所取的封闭高斯柱面高度趋零，两底面积 很小但不为零，是一个面积微分 ，这就足以保证电流密度j仅 仅是时间的函数而与空间无关（但对各向同性的介质可不加 此限制）。 于是就得到： 所以有： C(t)是关于时间的函数,后面将给出C(t)的物理含义。 ( )  0  j ds   广义 ( ) ( 1 ) 0 1 2 0 1 1 2 0 2 2 • =       + − +  j dS dt dj j dt dj            ( ) ( 1 ) 0 1 2 0 1 1 2 0 2 2  =       + − + j S dt dj j dt dj              + = + = ( ) ( ) 1 1 0 1 1 2 2 0 2 2 j C t dt dj j C t dt dj      

1.方程可以给出整个过程当中传导电流的条件82P2 = 8P这也就是分界面上无自由电荷分布的条件2．方程可以证明在t→80，即稳态后ji和j2是相等的稳恒量将所得微分方程组与方程:jiP,d,+j2Pd,=U 联立。解此方程得：(djPi+d2p2)tUPi60P2(62died1+[ir(0+)-1lejr =-d,P +d2P2其中：r=1,2i.（0+）表示初始值。由此式可见稳态后电流密度是稳恒量。将上面的表达式代入微分方程得到：(dP+dP2)tU6,UU60PiP2(62di+8d2)-[i;(0t)-1]eC(t)= (d,Pi +dzP2p(d, +d,) dPi+d2P2这就是函数C的表达式，显然它是和外界激励以及介质本身都有关的量，而且是一个衰减时变量，在时间趋于无穷后成为稳恒量

1．方程可以给出整个过程当中传导电流的条件 这也就是分界面上无自由电荷分布的条件。 2．方程可以证明在 ，即稳态后 和 是相等的稳恒量 将所得微分方程组与方程： 联立。 解此方程得： 其中：r=1,2 表示初始值。 由此式可见稳态后电流密度是稳恒量。 将上面的表达式代入微分方程得到： 这就是函数C的表达式，显然它是和外界激励以及介质本身都有关 的量，而且是一个衰减时变量，在时间趋于无穷后成为稳恒量。 2 2 1 1   =  t →  1 j 2 j j 1 1 d1 + j 2 2 d2 =U         + − + = + + − + ( ) ( ) 1 1 2 2 1 0 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 [ (0 ) 1] d d d d t r r j e d d U j          (0 ) + r j   1 1 2 2 ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 0 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 (0 ) 1} ( ) ( ) {                d d U j e d d U d d U C t d d d d t + − + + + + = + + − +

由以下两式联立的方程组：jiPid, + j2P2dz =U(diPi+d2P2)tUc0(82P2 -iP1)60Pip2(62d+ed)[Lj2(0+)-ji(0*)]edt =Pd, + Pd20U2解得：Jj=Pi(cd, +8d2)Uej2=P2(d, +ed2)由解的形式看到电流密度的初始值并不是零，而是一个与介质本身及外界激励都有关的突变通过以上的讨论，可以看到自由电荷的滞留是由传导电流不连续引起的，它受场变位移电流和束缚电荷电流（仅在介质中才有束缚电荷电流）制约，三者之和是广义电流，广义电流处处连续，永不间断。解决以上问题后，我们来看一看广义电流对实际问题的解释

由以下两式联立的方程组： 解得： 由解的形式看到电流密度的初始值并不是零，而是一个与介 质本身及外界激励都有关的突变。 j 1 1 d1 + j 2  2 d2 =U 1 1 2 2 ( ) 0 2 2 1 1 ( ) 0 2 1 ( ) [ (0 ) (0 )] 0 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 d d U j j e dt d d d d t               + − − = + + − + + +  ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 d d U j d d U j         + = + = 通过以上的讨论，可以看到自由电荷的滞留是由传导电流不连续引 起的，它受场变位移电流和束缚电荷电流（仅在介质中才有束缚电 荷电流）制约，三者之和是广义电流，广义电流处处连续，永不间 断。 解决以上问题后，我们来看一看广义电流对实际问题的解释