以解析函数的理论与方法研究平面电磁场
以解析函数的理论与方法研究 平面电磁场
主要想法复变函数和电磁学这两门课中一些重要的公式是很相似的，本文试图在一定的程度上发掘其中的联系
复变函数和电磁学这两门课中一些重要 的公式是很相似的，本文试图在一定的 程度上发掘其中的联系。 主要想法
主要内容建立数学模型根据模型推算基本定理些结论二维场的保形变换
主要内容 1 建立数学模型 2 根据模型推算基本定理 3 一些结论 4 二维场的保形变换
维场数学模型M无穷长导线的磁场Y如图，将一根无穷长的B直导线置于坐标原点方向为乙轴方向。于是易I得(xy)点处的磁场分量为：-uolyB,=2元(x +y)XMolxB,= 2元(x + y℃)
二维场数学模型 无穷长导线的磁场 如图，将一根无穷长的 直导线置于坐标原点， 方向为 Z轴方向。于是易 得(x,y)点处的磁场分量 为： X Y I r 2 ( ) 2 ( ) 2 2 02 2 0 x y Ix x y Iy BB yx + = + − = B
现把Y-X平面视为复平面，z-x+iy.并令：B, + B,iixyw = w(z)22x?+y2Molx+y2元同样，对于电场，则有：E,+E,iW = W(z)a2元在以下的讨论中，视几为二维电荷，I为二维磁荷并统一以符号表示
现把Y-X平面视为复平面， z=x+iy, 并令： 2 2 2 2 0 2 ( ) x y ix x y y I B B i w w z x y + + + = − + = = 2 2 2 2 ; x y x v x y y u + = + = − ; u v u v x y y x = − = 2 0 ( ) E E i w w z x + y = = 同样，对于电场，则有： 在以下的讨论中，视 为二维电荷， 为二维磁荷。 并统一以符号 表示。 I q
高斯定理与环路定理注意到对于土面的两种情况，都有w=w(z)=u-iv是解析的，因为Cauchy-Riemman方程得到足ou a(-v) Qu(-v)Oxoxyay
高斯定理与环路定理 注意到对于上面的两种情况，都有 是解析的，因为Cauchy-Riemman方程得到足： w = w(z) = u − iv x v y u y v x u − = − = ( ) ; ( )
于是解析函数的理论与方法有了用武之地！取C为一条围绕原点的简单封闭曲线，如果原点处存在无限长的导线（或者带电直线），则由留数定理可得：f wdz=2miRes[w,0]JC
取C为一条围绕原点的简单封闭曲线，如果原 点处存在无限长的导线（或者带电直线），则 由留数定理可得： = C wdz 2iRe s[w,0] 于是解析函数的理论与方法有了用 武之地！
fwdz=f (u-iv)(dx+idy)-2比较实部虚部即得：f (udx + vdy) = 2元(1)(2)f. (udy-vdx) =0下面分析上面二式的意义
= ( − )( + ) = 2 C C wdz u iv dx idy 比较实部虚部即得： − = + = C C udy vdx udx vdy ( ) 0 ( ) 2 下面分析上面二式的意义。 (1) (2)
对于图重的曲线积分，积分微元是di = dx + idy于是，如果把w看作有两个分量的矢dl量,可有w· dl = (u +iv)(dx + idy)= udx + vdy即得：w.dl=2元对于磁场的情况由B-40W最后得到： B.di = μol2元JC
对于图重的曲线积分,积分微元是 dl = dx + idy 于是,如果把w看作有两个分量的矢 量,可有 udx vdy w dl u iv dx idy = + = ( + )( + ) 即得: = C w dl 2 由 2 0 Iw B = 最后得到: = C B dl I 0 dl 对于磁场的情况
上式即是我们熟悉的安培环路定理而（2）式的意义又何在呢?注意到：dliw ·dl = (u +iv)(dx +idy)= vdx-udyIdn如果我们定义：dn =-idl则可以得到：w·dn=0JCdn的几何意义如图所示.当把曲线看成是无限长的柱面的截线时，即是曲面的法向量，正式的意义即可理解为是二维平面的高斯定理
上式即是我们熟悉的安培环路定理. 而(2)式的意义又何在呢?注意到: iwdl = (u + iv)(dx + idy) = vdx−udy 如果我们定义: dn idl = − 则可以得到: = C w dn 0 dl dn 的几何意义如图所示.当把曲线看成是无限长的 柱面的截线时, 即是曲面的法向量.上式的意义 即可理解为是二维平面的高斯定理. dn