第13讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 52典型环节对数频率特性曲线的绘制 53典型环节的幅相曲线的绘制 54稳定裕度和判据 5.3极坐标图( Polarplo,幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 531积分与微分因子 5.32-阶因子 533二阶因子 5.3.4传递延迟 O=0 0 Re 0 低频区 +J 图5-33(a)传递延迟的极坐标图
135 第 13 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 典型环节的幅相曲线的绘制 5.4 稳定裕度和判据 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 Re Im = 0 1 0 Re Im = 0 = 1+ jT 1 j T e − 低频区 图 5-33(a) 传递延迟的极坐标图
图5-33(b)eo, 和1+jOT的极坐标图 G(j0)=e10可以写成G(1)=1/cosO7- jsin aT 因为的幅值总为1,而相角随线性变化,所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆,如图5-33(a)所示。在低频时,传递延迟与一阶环节的特性相似 如图5-33(b)所示。 当0时,两者存在本质的差别。 535极坐标图的一般形状 Re n-m: 2型系统 型系统↓0型系统 0 图5-34(a)0型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图
136 图 5-33(b) j T e − 和 1+ jT 1 的极坐标图 j T G j e − ( ) = 可以写成 G( j) =1 cosT − jsin T 因为的幅值总为 1，而相角随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆，如图 5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似， 如图 5-33(b)所示。 当 T 1 时， e j T j T − − 1 j T j T − + 1 1 1 当 T 1 时，两者存在本质的差别。 5.3.5 极坐标图的一般形状 Re Im = 0 1型系统 0型系统 2型系统 0 0 0 Re = 0 n−m=1 n−m= 2 n−m=3 图 5-34(a)0 型 1 型和 2 型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图
Go K(tJo+D(2jO+1).(tmJ@+D) (jo)(7jO+1)(2Jo+1)…(Tn-jo+1)">m =0即0型系统:极坐标图的起点=0是个位于正实轴的有限值 对应于O=00的极坐标图曲线的终点位于坐标原点,并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。 v=1型系统:在总的相角中,-90°的相角是项产生的。在低频时,极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当O三∞时,幅值为零, 且曲线收敛于原点,且曲线与一个坐标轴相切。 v=2即2型系统:在总相角中-180的相角是由(o)2项产生的。 0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如 果G()的分母多项式阶次高于分子多项式阶次,那么G()的轨迹 将沿者顺时针方向收敛于原点。当O=∞O时,G(j四)轨迹将与实轴 或虚轴相切如图5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 54对数幅相图( Nichols Chart)尼柯尔斯图
137 ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + = − j T j T j T j K j j j G j n m n m = 0 即 0 型系统：极坐标图的起点 = 0 是一个位于正实轴的有限值。 对应于 = 的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。 =1 1 型系统：在总的相角中，− 90 的相角是 j 项产生的。在低频时，极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当 = 时，幅值为零， 且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。 = 2 即 2 型系统：在总相角中−180 的相角是由 2 ( j) 项产生的。 0 型、1 型和 2 型系统极坐标图低频部分的一般形状如图 5-34(a)所示。如 果 G( j) 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么 G( j) 的轨迹 将沿者顺时针方向收敛于原点。当 = 时， G( j) 轨迹将与实轴 或虚轴相切如图 5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
Nichols Chart Open-Loop Phase(deg) 图5-34二阶因子对数幅-相图 5.5奈奎斯特稳定判据 Nyquist Stability Criterion) R(s c(s) G(s) H(S) 图3-35闭环系统 考虑图5-35所示的闭环系统,其闭环传递函数为 S S R(s) 1+ H(SG(s) 为了保证系统稳定,特征方程
138 Nichols Chart Open-Loop Phase (deg) Open-Loop Gain (dB) -180 -135 -90 -45 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 图 5-34 二阶因子对数幅-相图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) R(s) C(s) G(s) H(s) 图 3-35 闭环系统 考虑图 5-35 所示的闭环系统，其闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s G s G s R s C s + = 为了保证系统稳定，特征方程
1+H(s)G(S)=0 的全部根,都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数H(s)G()的极点 和零点可能位于右半s平面,但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半S 平面,则系统是稳定的。 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应H(O)G()与 l+H(s)G(s)在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点,得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线,均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的 假设开环传递函数H(S)G(s)可以表示成s的多项式之比。对于物理 上可实现的系统,闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数,这表明,当s趋于无穷大时,任何物理上可实现系统的 H(s)G(s)的极限,或趋于零,或趋于常数。 551预备知识 F(s)=1+H(s)G(s)=0 可以证明,对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线,在
139 1+ H(s)G(s) = 0 的全部根，都必须位于左半 s 平面。虽然开环传递函数 H(s)G(s) 的极点 和零点可能位于右半 s 平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半 s 平面，则系统是稳定的。 奈 奎 斯 特 稳 定 判 据 正 是 将 开 环 频 率 响 应 H( j)G( j) 与 1+ H(s)G(s) 在右半 s 平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。 假设开环传递函数 H(s)G(s) 可以表示成 s 的多项式之比。对于物理 上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数，这表明，当 s 趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的 H(s)G(s) 的极限，或趋于零，或趋于常数。 5.5.1 预备知识 F(s) =1+ H(s)G(s) = 0 可以证明，对于 S 平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在
F(s)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。F(s)平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向,在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数 H(SG(S (S+1)(S+2) 其特征方程为 6 F(s)=1+H(s)G(s)=1+ (S+1)(S+2 (S+1.5+j24)(s+1.5-j24) 0 (S+1)(S+2) 函数F(s)在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每个解析点, F()平面上必有一点与之对应。例如s=1+j2,则F(S)为 F(1+j2)=1+ =1.115-10.577 (2+j2)(3+j2 这样,对于s平面上给定的连续封闭轨迹,只要它不通过任何奇点,在F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应 S平面 F()平面
140 F(s) 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 F(s) 平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数： ( 1)( 2) 6 ( ) ( ) + + = s s H s G s 其特征方程为： ( 1)( 2) 6 ( ) 1 ( ) ( ) 1 + + = + = + s s F s H s G s 0 ( 1)( 2) ( 1.5 2.4)( 1.5 2.4) = + + + + + − = s s s j s j 函数 F(s) 在 s 平面内除了奇点外处处解析。对于s 平面上的每一个解析点， F(s) 平面上必有一点与之对应。例如 s = 1+ j2 ，则 F(s) 为： 1.115 0.577 (2 2)(3 2) 6 (1 2) 1 j j j F j = − + + + = + 这样，对于 s 平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在 F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 S 平面 F(s) 平面
A1 a D1 -O5
141 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 A B C D A1 B1 C1 D1 （a） -3 -2 -1 0 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 A B C D F E A B C D E F1 A B C D F E A1 B1 C1 D1 E1 (b) -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
图5-36s平面上的图形在平面上的保角变换 图5-36(a)所示为上半s平面内的直线a=-31和o=2在F()平面上 的保角变换。例如,上半s平面内的直线s=-3+jo(20)映射到F()平面 上,就变成了F(S)平面上的a=-3的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨 迹ABCD,其在F(S)平面上对应曲线是AB1CIDl。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质,S平面相上和F(S)平面上对应的角度是相等 的,并且具有相同的意义(例如,因为s平面内的直线AB与CD相互垂直, 所以在F(S)平面上AB1与CDl在B1点也构成直角)由图5-36b可 以看出,当s平面上的图形包围两个F(s)的极点时,F(s)的轨迹将反时针
142 (d) 图 5-36 s 平面上的图形在平面上的保角变换 图 5-36（a）所示为上半 s 平面内的直线 = −3,1 和 = 2 在 F(s) 平面上 的保角变换。例如，上半 s 平面内的直线 s = −3 + j( 0) 映射到 F(s) 平面 上，就变成了 F(s) 平面上的 = −3 的曲线。对于 s 平面上顺时针转出的轨 迹 ABCD，其在 F(s) 平面上对应曲线是 A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质，s 平面相上和 F(s) 平面上对应的角度是相等 的，并且具有相同的意义（例如，因为 s 平面内的直线 AB 与 CD 相互垂直， 所以在 F(s) 平面上 A1B1 与 C1D1 在 B1 点也构成直角）。由图 5-36(b)可 以看出，当 s 平面上的图形包围两个 F(s) 的极点时， F(s) 的轨迹将反时针
方向包围F(S)平面上原点两次 在F(S)的平面上,图形包围原点的次数,取决于S平面上的封闭曲线 例如,这个曲线当s平面上的图形包围F(s)的两个极点和两个零点,相应 的F(s)的轨迹将不包围原点。如图5-36(c)所示。如果这个曲线只包围 个零点,相应的F()的轨迹将顺时针包围原点一次,如图536(d)所 示。如果s平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点,F(s)的轨迹将 永远不会包围F()平面上的原点,如图5-36(d)际示 对于s平面上的每一点,除了奇点外,在F()平面上只有一个相应的 点与之对应,即从s平面到F(S)平面的景是一对应的。但是,从F(s) 平面到s平面的影不是—对应的因为对于F(s)平面上的某一给定点 在s平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图5-36(c)中对F(s) 平面上的B1点,在s平面上与之对应的有(3,3和(0-3两个点 如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,12.),即包围的零 点数与极点数相同,则在F()平面上,相应的封闭曲线不包围F()平面 上的原点。上述讨论是景射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立 在影射定理的基础上
143 方向包围 F(s) 平面上原点两次。 在 F(s) 的平面上，图形包围原点的次数，取决于 s 平面上的封闭曲线。 例如，这个曲线当 s 平面上的图形包围 F(s) 的两个极点和两个零点，相应 的 F(s) 的轨迹将不包围原点。如图 5-36（c）所示。如果这个曲线只包围 一个零点，相应的 F(s) 的轨迹将顺时针包围原点一次，如图 5-36（d）所 示。如果 s 平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点， F(s) 的轨迹将 永远不会包围 F(s) 平面上的原点，如图 5-36（d）所示。 对于 s 平面上的每一点，除了奇点外，在 F(s) 平面上只有一个相应的 点与之对应，即从 s 平面到 F(s) 平面的影射是一一对应的。但是，从 F(s) 平面到 s 平面的影射不是一一对应的，因为对于 F(s) 平面上的某一给定点， 在 s 平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图 5-36（c）中，对于 F(s) 平面上的 B1 点，在 s 平面上与之对应的有(-3,3)和(0,-3)两个点。 如果在 s 平面上曲线包围 k 个零点和 k 个极点(k=0,1,2…)，即包围的零 点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面 上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立 在影射定理的基础上
5.52影射定理F(S) 设F()为两个s的多项式之比,并设P为F(s)的极点数,z为F(S) 的零点数,它们位于5平面上的某封闭曲线内,且有多重极点和多重零 点的情况。又设上述封闭曲线不通过F(S)的任何极点和零点。于是,s平 面上的这一封闭曲线景射到F()平面上,也是一条封曲线。当变量s顺 时针通过封闭曲线时,在F(s)平面上,相应的轨迹顺时针包围F(S)原点 的总次数R等于zP。 若R为正数表示F(S)的零点数超过了极点数若R为负数表示F(s) 的极点数超过了零点数。在控制系统应用中,由H(s)G(s)很容易确定 F(s)=1+H(s)G(s)的P数。因此,如果,F(s)的轨迹图中确定了R, 则s平面上封闭曲线内的零点数很容易确定。 55.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性令s平面上的封刁曲线包围整个右半 s平面。这时的封闭曲线由整个j轴(从o=-到o=+∞)和右半s平面上半 径为无穷大的半轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺
144 5.5.2 影射定理 F(s) 设 F(s) 为两个 s 的多项式之比，并设 P 为 F(s) 的极点数，Z 为 F(s) 的零点数，它们位于 s 平面上的某一封闭曲线内，且有多重极点和多重零 点的情况。又设上述封闭曲线不通过 F(s) 的任何极点和零点。于是，s 平 面上的这一封闭曲线影射到 F(s) 平面上，也是一条封闭曲线。当变量 s 顺 时针通过封闭曲线时，在 F(s) 平面上，相应的轨迹顺时针包围 F(s) 原点 的总次数 R 等于 Z-P。 若R为正数，表示 F(s) 的零点数超过了极点数；若R 为负数，表示 F(s) 的极点数超过了零点数。在控制系统应用中，由 H(s)G(s) 很容易确定 F(s) =1+ H(s)G(s) 的 P 数。因此，如果， F(s) 的轨迹图中确定了 R， 则 s 平面上封闭曲线内的零点数很容易确定。 5.5.3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性，令 s 平面上的封闭曲线包围整个右半 s 平面。这时的封闭曲线由整个 j 轴(从 = − 到 = + )和右半 s 平面上半 径为无穷大的半圆轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺
