北京航空航天大学：《自动控制原理》课程教学资源（授课教案讲义）第五章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis

第14讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 52典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3极坐标图( Polar plo,幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 531积分与微分因子 532—阶因子 533二阶因子 534传递延迟 54对数幅相图( Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5奈奎斯特稳定判据 Nyquist Stability Criterion) 551预备知识 552影射定理 5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 554奈奎斯特稳定判据 555关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 5.56G(s)H(s)含有位于JO上极点和或零点的特殊情况

152 第 14 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 5.5.1 预备知识 5.5.2 影射定理 5.5.3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 5.5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5.5 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 5.5.6 G(s)H(s) 含有位于 j 上极点和/或零点的特殊情况

56稳定性分析 *5.6.1条件稳定系统 *5.62多回路系统 *563应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *564利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 57相对稳定性 57.1通过保角变换迸行相对稳定性分析 572相位裕度和增益裕度 例5-8一单位反馈控制系统的开环传递函数为 0)273+5++1式中x2和均为正值,为使系统稳定,开环 增益K与时间常数T,72和7之间满足什么关系? 解 K [T1T2(jo)2+2jo+13jo+1) K T1T2T3(o)3+(72+273Xjo)2+(72+73)jo+1 1-72(71+73)02+(72+T3-T1T2T7o2)jo K 1-T2(71+7)o2-(72+73-7272o2) 此式太复杂利用上式直接令虚部 -72(71+T3)o2]2+(72+T3-T172To2)2o 为零即可

153 5.6 稳定性分析 *5.6.1 条件稳定系统 *5.6.2 多回路系统 *5.6.3 应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *5.6.4 利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 5.7 相对稳定性 5.7.1 通过保角变换进行相对稳定性分析 5.7.2 相位裕度和增益裕度 例 5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = T T s T s T s K G s 式中 1 2 3 K,T ,T 和T 均为正值。为使系统稳定，开环 增益 K 与时间常数 1 2 3 T ,T 和T 之间满足什么关系？ 解 ： [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + =     T T j T j T j K G j ( ) ( )( ) ( 2 3 ) 1 2 1 2 2 3 3 1 2 3 + + + + + = T T T j T T T T j T T j K T T T  T T T T T  j K 1 ( ) ( ) 2 2 3 1 2 3 2 − 2 1 + 3 + + − = 2 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3 2 2 1 3 [1 ( ) ] ( ) 1 ( ) ( )       T T T T T T T T T T T T T T T T j K − + + + − − + − + − = 此式太复杂利用上式直接令虚部 为零即可

7+7-72=02=±+虚部为零与负实轴相交于 K G(o G-70)+)0+m 72(7+73)0=m1-72(+) 727 K q() 1-71T2O G(0+)=k-j0G(∞)=-0+j0 画出一半利用对称性画出另一半 1-2(+7)-1闭+2+1>K+17=12=27=3K=2 71T 727173 7=1,72=2,73=3,K=8 4 Real Axis 154

154 0 2 T2 +T3 −T1T2T3 = 1 2 3 2 3 T T T T T c +  =  虚部为零与负实轴相交于 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 1 ( ) 1 ( ) ( ) T T T T T T T T K T T T K G j c c + − + = − + = =   ( ) 2 3 2 2 2 2 1 2 [(1 ) ( ) ][1 ( ) ] ( )       j e T T T T K G j − + + =      3 2 1 2 2 1 ( ) arctgT T T T arctg − − = − G( j0+) = K − j0 G( j) = −0 + j0 画出一半利用对称性画出另一半。 1 1 ( ) 2 1 3 2 3 2 1 3  − + − + T T T T T T T T K ( ) 1 1 3 2 3 1 3  + + + K T T T T T T T1 =1,T2 = 2,T3 = 3,K = 2 T1 =1,T2 = 2,T3 = 3,K = 8 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis

Real Axis 图5-45b例5-8题的极坐标图 G平面 K大时 K小时 图5-46G(o)= KTjo+lTJo+1).(ImJo+1) (o)"(Gj+1(2j+1)(n-m1+Dn>m的极坐标图 图5-46所示为3种具有不同开环增益值的G(jo)极坐标图。对于大 的K值,系统是不稳定的。当增益减小到一定值时,G()的轨迹通过

155 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis 图 5-45b 例 5-8 题的极坐标图 Re Im 0  −1 G平面 K大时 K小时 图 5-46 ( ) (( 1)( 1) ( 1)) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + =    −        j T j T j T j K T j T j T j G j n m   n  m 的极坐标图 图５-46 所示为 3 种具有不同开环增益值的 G( j) 极坐标图。对于大 的 K 值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时， G( j) 的轨迹通过

1+j0点。对于小的K值,系统是稳定的。 一般来说,G()的轨迹越接近与包围-1+j0-1+0点,系统响应的震 荡性越大。因此,G(o)的轨迹对-1+j0点的靠近程度,可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 Positive m G Plane Negative Gain Margin Phase Margin G Plane Re G(o R Positive Negative Phase Margin Gain Margin Stable System Unstable System

156 −1+ j0 点。对于小的 K 值，系统是稳定的。 一般来说， G( j) 的轨迹越接近与包围-1+j0−1+ j0 点，系统响应的震 荡性越大。因此， G( j) 的轨迹对−1+ j0 点的靠近程度，可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 示。 Re Imh 1 GPlane   Positive Gain Margin Positive Phase Margin -1 1 Re Im h 1   Negative Gain Margin Negative Phase Margin -1 1 Stable System Unstable System G( j) G( j) GPlane

Positive Negative Gain Margin dB Gain Margin 0 0 Logo i Logo -180 -180° go Positive Phase Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 图5-47稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 ①相位裕度、相角裕度( Phase Margin)y 设系统的截止频率( Gain cross-over frequency)为a Ao2)=|G(o)H(o2)=1 定义相角裕度为 y=180°+/G(o)f(o) 相角裕度的含义是,对于闭环稳定系统,如果开环相频特性再滞后γ度,则 系统将变为临界稳定。 当γ>0时,相位裕量相位裕度为正值;当y<0时,相位裕度为负值。为了 使最小相位系统稳定,相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分 157

157 64 Log Log Log Log −90 −270 −180 Positive Gain Margin Positive Phase Margin Negative Gain Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 0 dB −90 −270 −180 0 dB 图 5-47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 相位裕度、相角裕度(Phase Margin)  设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为 c A( jc ) = G( jc )H( jc ) =1 定义相角裕度为 180 ( ) ( ) c c  =  + G j H j 相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后  度，则 系统将变为临界稳定。 当   0 时，相位裕量相位裕度为正值；当   0 时，相位裕度为负值。为了 使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为 0 分

贝和-180度。-180° ②增益裕度、幅值裕度( Gain Margin)h 设系统的穿越频率( Phase cross-over frequency) 0(on)=/G(o)H(on)=(2k+1)z,k=0士1 定义幅值裕度为 G(Ox)H(Ox 幅值裕度h的含乂是,对于闭环稳定系统,如果系统开环幅频特性再增大h 倍,则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示,则有 h(dB)=-20bg((o,)H(o2) 当增益裕度以分贝表示时,如果h>1,则砳dB)>0增益裕度为正值;如 果h<1,则hdB)<0增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是 稳定的;负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的 对于稳定的最小相位系统,增益裕度指出了系统在不稳定之前,增益 能够增大多少。对于不稳定系统,增益裕度指岀了为使系统稳定,增益应 当较少多少

158 贝和-180 度。−180 增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h 设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency) (x ) = G( jx )H( jx ) = (2k +1) ，k = 0,1,  定义幅值裕度为 ( ) ( ) 1 x x G j H j h   = 幅值裕度 h 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h 倍，则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示，则有 ( ) 20log ( ) ( ) x x h dB = − G j H j 当增益裕度以分贝表示时，如果 h 1 ，则 h(dB)  0 增益裕度为正值；如 果 h 1 ，则 h(dB)  0 增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是 稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。 对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益 能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应 当较少多少

一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大,因为这类系统的极坐标图与负 实轴不相交。因此,理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然, 阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的,因为在推导系统方程时,忽 略了一些小的时间滞后,因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及 这些小的滞后,则所谓的阶或二阶系统可能是不稳定的。 57.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制係系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐棡图对-1+j0点靠近程度 的度量。因此,这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度,都不足以说明系统的的相对稳定性。为了 确定系统的相对稳定性,必须同时给岀这两个量。 对于最小相位系统,只有当相位裕度和增益裕度都是正值时,系统才 是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和増益裕度可以防 止系统中元件变化造成的影响,并且指明了频率值。为了得到满意的性能, 相位裕度应当在30与60°之间,增益裕度应当大于6分贝。 例5-9已知一单位反馈系统的开环传递函数为G(s) s(1+0.2s)(1+0.059) 试求:①K=1时系统的相位裕度和增益裕度。②要求通过增益K的调整

159 一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负 实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一 阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽 略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及 这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。 5.7.3 关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0 点靠近程度 的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了 确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才 是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防 止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能， 相位裕度应当在 30与60 之间，增益裕度应当大于 6 分贝。 例 5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 (1 0.2 )(1 0.05 ) ( ) s s s K G s + + = 。 试求：K=1 时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益 K 的调整

使系统的增益裕度20logh=20dB,相位裕度y≥40°。 解:①a,)=/G,H(o2)=-180°G(o)H(on)=1 q(O3)=-90°-arcg0.20x- arct0.050x=-180 即arcg0.20n+mo05m=90°1g(6±62)=8±g62 1千g1tgb2 020+0050=→1-020,×050,=0→O,=10 1-0.20x×0.050x 在ω处的开环对数幅值为 h(dB)=-20logG(jO)H(jO,) =-20lo jo(1+10.2ax1+j0050 =20bog10+20bg√1+(02×10)2+20bogy1+(0.05×10) =20+7+1=28dB 根据K=1时的开环传递函数,可以求出截止频率( Gain cross-over frequency) 为a (()H(o2)=1 G() j0(1+10.2mX1+1005) 1 O√(1+00402X1+0002502) ()=-90-arcg0.2c-arcg0.050=-104° y=1809(c2)=180°-104°=76° ②由题意知h=10Go,)=01 K =01K=01×10/+4√1+025=25 √(1+00402)1+000202) 验证是否满足相位裕度的要求

160 使系统的增益裕度 20logh=20dB，相位裕度   40 。 解： ( ) = ( ) ( ) = −180 x x x   G j H j G( jc )H( jc ) =1 ( ) = −90 − 0.2 − 0.05 = −180  x arctg x arctg x 即 0.2 + 0.05 = 90 arctg x arctg x 1 2 1 2 1 2 1 ( )       tg tg tg tg tg    = =  −  + x x x x     1 0.2 0.05 0.2 0.05 ➔ 1− 0.2x 0.05x = 0 ➔ x = 10 在 x 处的开环对数幅值为 ( ) 20log ( ) ( ) x x h dB = − G j H j (1 0.2 )(1 0.05 ) 1 20log x x x j + j + j = − 2 2 = 20log 10 + 20log 1+ (0.2 10) + 20log 1+ (0.0510) = 20+ 7 +1= 28dB 根据 K=1 时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency) 为 c G( jc )H( jc ) =1 (1 0.2 )(1 0.05 ) 1 ( ) c c c c     j j j G j + + = 1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 1 2 2 c = + + =  c c c =1 ( ) = −90 − 0.2 − 0.05 = −104  c arctg c arctg c =180 + ( ) =180 −104 = 76  c   由题意知 h =10 G( jx ) = 0.1 0.1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 2 2 x = + x + x K    K = 0.110 1+ 4 1+ 0.25 = 2.5 验证是否满足相位裕度的要求

根据y≥40°的要求,则得: q(2)=-90°-arcg0.202-amcg0.050=-180°+40°=-140° arctg0.2@c arctg0 050=50 0.2.+0.05 1.2 O=4 1-0.2×0.050 o√(+00402)1+000502 K=4×1.28×1.02=52 不难看出,K=25就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求 Bode Diagram 270 Frequency(rad/sec)

161 根据   40 的要求，则得： ( ) = −90 − 0.2 − 0.05 = −180 + 40 = −140  c arctg c arctg c 0.2 + 0.05 = 50 arctg c arctg c 1.2 1 0.2 0.05 0.2 0.05 = −  + c c c c     c = 4 1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 2 2 c = + c + c K    K = 41.281.02 = 5.2 不难看出， K = 2.5 就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) -100 -80 -60 -40 -20 0 20 10 0 10 1 10 2 -270 -225 -180 -135 -90