HIT 第四章 线性系统的时间域理论 第4章系统运动的稳定性 稳定性是系统的另一个重要特征。 系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。 实际系统必须是稳定的。 外部稳定性:通过输入一输出关系来表征。 内部稳定性:零输入下状态运动的响应来表征。 满足一定的条件,内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 001
第四章 线性系统的时间域理论 第4章 系统运动的稳定性 系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。 稳定性是系统的另一个重要特征。 实际系统必须是稳定的。 外部稳定性 ：通过输入—输出关系来表征。 内部稳定性 ：零输入下状态运动的响应来表征。 满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系。 001
HIT 第四章 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法(A.M. Ji A I HoB) 线性系统非线性系统; 定常系统时变系统; 连续时间系统离散时间系统 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 002
第四章 连续时间系统 离散时间系统 定常系统 时变系统 ； 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) 线性系统 非线性系统 ； 002
HIT 第四章 41外部稳定性和内部稳定性 ◆外部稳定性 考虑一个线性因果系统,如果对应于一个有界的输入l(t), 即满足条件: l)N≤k<∞,t∈[h,∞) L的输入(),所产生的输出y()也是有界的,即成立 vO)≤k2 <OO t∈|t 05 则称此因果系统是外部稳定的,即有界输入一有界输出稳定 的,简称为BIBO稳定。 必须假定系统的初始条件为零,才是唯一的和有意义的 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 003
第四章 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 ， u t( ) u t( ) 必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。 的，简称为 B I B O 稳定。 y t( ) u(t) £ k1 0 < ¥ , , "t t Î ¥ [ ) 即满足条件： 的输入 ，所产生的输出 也是有界的，即成立 则称此因果系统是外部稳定的，即有界输入—有界输出稳定 4.1 外部稳定性和内部稳定性 u外部稳定性 [ ) 2 0 y(t) £ k < ¥ , , "t t Î ¥ 003
HIT 第四章 范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。 如果是数域K上的一个线性空间,x∈V是任意一个向 量,x对应一个非负实数 x ,这个非负实数满足下列三个 条件: (1)当x≠0时,|x>0,当x=0时,‖ (2)对任意常数a∈K,有|x‖-kal‖‖。 (3)对任意向量x,y∈V,成立“三角不等式” x+ys‖x‖y 这样的函数|x称为x的范数。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 004
第四章 这样的函数 称为 的范数。 K 范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。 如果 是数域 上的一个线性空间， 是任意一个向 条件： 量，x 对应一个非负实数 ，这个非负实数满足下列三个 V x V Î （1）当 时， x > 0 ，当 时， 。 x x ¹ 0 x = 0 x = 0 x x , y V Î x （2）对任意常数 a Î K ，有 a a x x = 。 （3）对任意向量 ，成立 “ 三角不等式 ” x + y £ + x y 004
HIT 第四章 判别准则 结论1[时变系统] 对于零初始条件的线性时变系统,表G(t,τ)为其脉冲响 宝应矩阵,则系统为BBO稳定的充分必要条件是,存在 个有限常数k,使对于一切t∈[t0,∞),G(t,r)的每 个元81(1,)(=1,2,;…,q;j=1,2,…,P) 均满足关系式: 8n(t,)dr≤k <oO 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 005
第四章 一个元 判别准则 结论 1 [ 时变系统 ] 均满足关系式： 0 ( , ) t ij t g t t td k £ < ¥ ò 应矩阵，则系统为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一 k t t Î ¥ [ 0 , ) ( , ) ( 1, 2, , ; 1, 2, , ) ij g t t i = = L L q j p 个有限常数 ，使对于一切 ， 的每 对于零初始条件的线性时变系统，表 G t ( , ) t 为其脉冲响 G t( , ) t 005
HIT 第四章 函证明:分成两步来证明 首先,考虑P=q=1,即单输入一单输出的情况。 先证充分性:已知 (1,r)ldr≤k<成立, 且任意输入l(1)满足(t)|≤k1<∞,t∈[to,o 那么利用由脉冲响应函数8(2,)表示的输出y(t)的表达式 就可得到p()|8tsg)t ≤k8dsk=k<O 从而由定义知系统为BBO稳定。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 006
第四章 首先，考虑 ，即单输入—单输出的情况。 证明 ：分成两步来证明 p q = = 1 先证充分性 ：已知 成立， 0 0 0 1 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t t t y t g t u d g t u d k g t d k k k t t t t t t t t = £ £ £ = < ¥ ò ò ò 且任意输入 满足 0 ( , ) t t g t t t d k £ < ¥ ò 就可得到 那么利用由脉冲响应函数 表示的输出 的表达式 u t( ) 从而由定义知系统为 B I B O 稳定。 u (t ) £ k 1 0 < ¥ , , t t Î ¥ [ ) g t ( , ) t y t ( ) 006
HIT 第四章 证必要性:采用反证法,设存在某个1∈[o,0) 使 (t, t dt 则定义如下的一个有界输入 +1,当g(t1,t) l(t)=sgng(t1)={0,当g(t1,1)=0 1,当g(t1,1)<0 考察由它作用下所产生的输出y(t),易知 y()=8(1t=|gG,=o 表明输出无界,与B|B稳定相矛盾。 即「8()r≤k<vE[v)鱼略成掌火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 007
第四章 证必要性 ：采用反证法，设存在某个 t t 1 0 Î ¥ [ , )， 使 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t y t = g t t u t dt = g t d t t = ¥ ò ò 则定义如下的一个有界输入 1 0 ( , ) t t g t d t t = ¥ ò 即 表明输出无界，与 B I B O 稳定相矛盾。 1 1, , ) 0 ( ) sg n ( , ) 0 , , ) 0 1, , ) 0 t u t g t t t t ì + > ï = = = í ï - < î 1 1 1 当 g(t 当 g(t 当 g(t 考察由它作用下所产生的输出 y t ( ) ，易知 [ ) 0 0 ( , ) , , t t g t t td £ k < ¥ "t t Î ¥ ò 007
HIT 第四章 多输入一多输出情况 系统输出y(1)的分量y(口)满足关系式 gi(t, t )u,( dt (n( 有限个有界函数之和仍为有界,可证得此结论。 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 008
第四章 y t ( ) 多输入—多输出情况 系统输出 的分量 y t i ( ) 满足关系式 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t i i ip p t t t i ip p t t y t g t u g t u d g t u d g t u d t t t t t t t t t t t = é ù + + ë û £ + + ò ò ò L L 有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。 008
HIT 第四章 结论2[定常系统] 对于零初始条件的线性定常系统,表初始时刻to=0, G(t)为其脉冲响应矩阵,G(S)为其传递函数矩阵,则系统 为B|BO稳定的充分必要条件是,存在一个有限常数k, G()的每一个元8(t)(i= 乳j=12,…,P)均满足关系式: t)dt≤k<o 或等价地,当G(s)为真的有理分式函数矩阵时,G(s)的 每一个元传递函数g(S)的所有极点均具有负实部。 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 009
第四章 结论 2 [ 定常系统 ] 均满足关系式： 0 ( ) i j g t d t k ¥ £ < ¥ ò 为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个 分必要条件是，存在一个有限常数k ， ˆ G s ( ) ( ) ( 1, 2, , ; ij 的每一个元 g t i q = L 0 对于零初始条件的线性定常系统，表 条件的线性定常系统，表初始时刻 t = 0， ˆG s( ) 或等价地，当 为真的有理分式函数矩阵时， 的 ˆ ( ) i j 每一个元传递函数 g s 的所有极点均具有负实部。 j p = 1, 2,L , ) G t ( )为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，则系统 G t( ) ˆG s( ) 009
HIT 第四章 函◆内部稳定 对于线性定常系统 Ax+Bu Cx+ du x(0) 如果外输入()≡0,初始状态x为任意,且由x0引起 的零输入响应φ(t;0,x,0),满足关系式 imp(t,0,x0,0)=0 t→>00 则称系统是内部稳定的,或称为是渐近稳定的。 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 010
第四章 对于线性定常系统 0 x 0 ( 0 ) x A x B u y C x D u x x = + = + = & 0 f (t x ; 0, , 0) 如果外输入 u t( ) 0 º ，初始状态 为任意，且由 引起 的零输入响应 ，满足关系式： 则称系统是内部稳定的， 系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。 u内部稳定 0 x 0 lim ( ;0, ,0) 0 t f t x ®¥ = 010