HIT 第二章 线性系统的时间域理论 第2章线性系统的运动分析 状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。 进行分折的目的:揭示系统状态的运动规律和基本特性, ◆分析分为定量分析和定性分析 定量分析:对系统的运动规律进行精确的研究,即定量地确 定系统由外部激励作用所引起的响应 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 001
第二章 线性系统的时间域理论 第2章 线性系统的运动分析 进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。 状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。 u分析分为定量分析和定性分析。 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确 定系统由外部激励作用所引起的响应。 001
HIT 第二章 定性分析:对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的 几个关键性质,如能控性、能观测性和稳定性等,进行定性 分析。 21引言 运动分析的实质 A状态方程为:文=A(1)x+B(t) x( ∈ 或x=Ax+Bu,x(0)=x0,t≥0 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 002
第二章 状态方程为： 运动分析的实质 定性分析：对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的 几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等，进行定性 0 0 0 [ ] ( ) ( ) ( ) , , x A t x B t u x t x t t t a = + = Î & 分析。 0 或 x& = Ax + Bu , x(0) = ³ x t, 0 2.1 引言 002
HIT 第二章 分析:从数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的变 化规律,为系统的实际运动过程作出估计。 数学:给定初始状态xo和外输入作用l,求解出状态方程 的解。 由初始状态和外输入作用所引起的响应。 系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应,但运动的形 态主要是由系统的结构和参数所决定的,即由参数矩阵所决 定的。 状态方程的解x()给出了系统运动形态对系统的结构和参数 的依赖关系。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 003
第二章 的解。 数学：给定初始状态 和外输入作用 ，求解出状态方程 分析：从数学模型出发，定量地和精确地定 ，定量地和精确地定出系统运动的变 化规律，为系统的实 规律，为系统的实际运动过程作出估计。 x0 u 由初始状态和外输入作用所引起的响应。 系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形 定的。 态主要是由系统的结构和 由系统的结构和参数所决定的，即由 数所决定的，即由参数矩阵所决 状态方程的解 x t( ) 给出了系统运动形态对系统的结构和 态对系统的结构和参数 的依赖关系。 003
HIT 第二章 ◆解的存在性和唯一性条件 状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统的运动 分析才有意义。 时变系统而言,矩阵A(t)和B(1)的所有元在时间定义区间 [,t]上均为t的实值连续函数,而输入l()的元在时间 定义区间[o,a]上是连续实函数,则其状态方程的解x() 存在且唯一。 这些条件对于实际的物理系统总是能满足的,但从数学的观 点而言,条件太强了,将其减弱为: 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 004
第二章 u解的存在性和唯一性条件 状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动 A t( ) 分析才有意义。 时变系统而言，矩阵 和 的所有元在时间定义区间 上均为 的实值连续函数，而输入 的元在时间 定义区间 上是连续实函数，则其状态方程的解 存在且唯一。 这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观 B t( ) t u t( ) x t( ) [t t 0 , a ] [t t 0 , a ] 点而言，条件太强了，将其减弱为： 004
HIT 第二章 ①4()的各元a)在[,4]上是绝对可积的 即 ()dt<∞,i,j=1,2,…,n ②B(1)的各元b(在[0,上是平方可积的, 即:人d<∞,1=12…nk=12…p ③(1)的各元u(在[上是平方可积的, 职:人()d<∞,k=12 P 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 005
第二章 即： ① A t ( )的各元 在 上是绝对可积的， 0 ( ) , , 1,2, , t ij t a t dt i j n a < ¥ = ò L ( ) ij a t [t t 0 , a ] 即： ② B t ( )的各元 在 上是平方可积的， [ ] 0 2 ( ) , 1,2, , , 1,2, , t ik t b t dt i n k p a <¥ = = ò L L ( ) ik b t [t t 0 , a ] 即： ③ u t ( )的各元 在 上是平方可积的， [ ] 0 2 ( ) , 1,2, , t k t u t dt k p a <¥ = ò L ( ) k u t [t t 0 , a ] 005
HIT 第二章 函利用许瓦兹不等式有 ∑∫“bk()l()at k=1 通②和等价于B(t)u(1)的元在区间[o,上绝对可积。 对于线性定常系统:系数矩阵A和B均为常阵,只要其元 的值为有限值,则条件满足,解存在且唯 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 006
第二章 ②和③等价于 B (t)u t( )的元在区间 上绝对可积。 [ ] [ ] 0 0 0 1 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) p t ik k t k p t t ik k t t k b t u t d t b t d t u t d t a a a = = é ù £ ê ú ë û å ò å ò ò 利用许瓦兹不等式有 [t t 0 , a ] 对于线性定常系统：系数矩阵 A 和 B 均为常阵，只要其元 的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。 006
HIT 第二章 ◆零输入响应和零状态响应 线性系统满足叠加原理 在初始状态和输入向量作用下的运动,分解为两个单独的分 运动。 初始状态→自由运动 输入作用一>强迫运动。 自由运动:系统的自治方程 x= a()x, x(o) 的解,φ(t;t,x,0),零输入响应。 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 007
第二章 线性系统满足叠加原理 x& = A (t ) x , x (t 0 ) = Î x 0 0 , , t [t ta ] u零输入响应和零状态响应 运动。 初始状态 自由运动。 在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为 的运动，分解为两个单独的分 ® ® 输入作用 ® 强迫运动。 自由运动：系统的自治方程 0 0 的解，f (t;t x, , 0) ，零输入响应。 007
HIT 第二章 函强迫运动:系统在零初始状态下的强迫方程 x=A(1)x+B(1),x(1)=x,t∈[to,l] 的解,φ(t;t020,n),零状态响应。 系统响应: Cp(t;,x0,n)=p(t;t0,x0,0)+(1t1,0,m) 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 008
第二章 强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程 x& = A (t ) x + B (t ) u , x (t 0 ) = Î x 0 0 , , t [t ta ] 0 的解，f (t;t u , 0, ) ，零状态响应。 0 0 0 0 0 f (t;t , x ,u ) = + f f (t;t , x , 0) (t;t u , 0, ) 系统响应： 008
HIT 第二章 22线性定常系统的运动分析 ◆零输入响应 自治方程:=0,x=Ax,x(0)=x2t20 类其中,x为维状态向量,4为nxm常阵 H×n的矩阵函数: en=I+At+亠A2t2+…= ∑ k∠k k=0 称为矩阵指数函数。 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 009
第二章 0 u = 0 , x& = Ax, x(0) = ³ x t, 0 u零输入响应 自治方程： n n ´ n n ´ x n 2.2 线性定常系统的运动分析 其中， 为 维状态向量， A 为 常阵。 的矩阵函数： 2 2 0 1 1 2! ! At k k k e I At A t A t k ¥ = = + + + = L å 称为矩阵指数函数。 009
HIT 第二章 对线性定常系统的零输入响应 结论1 雌R=4x(0)=x0120所描述的线性定常系统的零 输入响应的表达式为: (:0,x,0)=ex,t≥0 矩阵指数函数的性质和计算方法 基本性质 ①lime t->0 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 010
第二章 0 lim At t e I ® = 所描述的线性定常系统的零 对线性定常系统的零输入响应 结论 1 基本性质 矩阵指数函数的性质和计算方法 输入响应的表达式为： 0 x& = Ax, x(0) = ³ x t, 0 0 0 ( ;0, ,0) , 0 At f t x = ³ e x t ① 010