HIT 第三章 线性系统的时间域理论 第3章线性系统的能控性与能观测性 能控性和能观测性是系统的两个基本结构特征。 60年代初,卡尔曼( RE Kalman)提出和研究了能控性和 能观测性这两个重要概念。 31能控性和能观测性的定义 ◆对能控性和能观测性的直观讨论 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 001
第三章 线性系统的时间域理论 第3章 线性系统的能控性与能观测性 60年代初，卡尔曼（R.E.Kalman）提出和研究了能控性和 能控性和能观测性是系统的两个基本结构特征。 3.1 能控性和能观测性的定义 u对能控性和能观测性的直观讨论 能观测性这两个重要概念。 001
HIT 第三章 从物理的直观性来讨论能控性和能观测性 状态空间描述: 输入和输出构成系统的外部变量,状态为系统的内部变量。 能控性:状态是否可由输入影响。 每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的 始点达到原点,则是能控,反之不完全能控的。 能观测性:状态是否可由输出反映。 所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则是 能观测的,反之不完全能观测的。佥路液常大学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 002
第三章 每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意的 能控性：状态是否可由输入影响。 从物理的直观性来讨论能控性和能观测性。 状态空间描述： 输入和输出构成系统的外部变量，状态为系统的内部变量。 始点达到原点，则是能控，反之不完全能控的。 所有状态变量的任意 所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反 可由输出完全反映，则是 能观测性：状态是否可由输出反映。 能观测的，反之不完全能观测的。 002
HIT 第三章 例:给定系统的状态空间描述为: 40|x 0-5x x x =4x,+l 2 将其表为标量方程组的形式,有x 2=-5x2+2u y=-6x 表明:x1和x2可通过选择输入而由始点达到原点,完 全能控 输出y只能反映x2,x1和y无直接、间接关系,不完 全能观测的。 佥黔霸成z求九学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 003
第三章 全能控。 例：给定系统的状态空间描述为： 1 x 1 1 2 2 2 4 5 2 6 x x u x x u y x = + = - + = - & & [ ] 1 1 2 2 1 2 4 0 1 0 5 2 0 6 x x u x x x y x é ù é ù é ù é ù = + ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë - û ë û ë û é ù = - ê ú ë û & & 将其表为标量方程组的形式，有 表明： 和 可通过选择输入 u 而由始点达到原点，完 1 x 全能观测的。 输出 y 只能反映 x2 ， 和 y 无直接、间接关系，不完 2 x 003
HIT 第三章 例:如图所示电路中,两个 状态变量为两电容的端电压 C R x1和x2,输入能够使x1或 R C 类者x转移到任意目标值,但 不能将x1和x分别转移不同的任意目标值。 如x1(t0)=x2(t0)=0,输入取何种形式, t≥t0,x1(t)=x2()不可能做到使, x(1)≠x2(1),不完全能控。常火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 003
第三章 如 ，输入 取何种形式， 1 x 例：如图所示电路中，两个 状态变量为两电容的端电压 和 ，输入能够使 或 R 1 C x + - R + - 2 C x 2 x 不能将 和 分别转移不同的任意目标值。 1 x 者 x2 转移到任意目标值，但 1 x 2 x 1 0 2 0 x (t ) = = x t( ) 0 u 0 1 2 t ³ = t , x (t ) x t( ) 不可能做到使， 1 2 x (t ) ¹ x t( ) ，不完全能控。 003
HIT 第三章 例:如图所示电路中,若 l(t)=0,当 R l()=0 R2 x L 且为任意值时,必定有 Ai=0,即t2t0,y(t)=0 状态不能由输出反映,不完全能观测。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 005
第三章 u t( ) 0 = R1 y + - L + 1 x 2 x i R1 L R2 状态不能由输出反映，不完全能观测。 u t( ) 0 = 例：如图所示电路中，若 ，当 ，即 且为任意值时，必定有 i = 0 0 t ³ = t , y t( ) 0 , 1 0 2 0 x (t ) = x t( ) 005
HIT 第三章 ◆能控性定义 线性时变系统的状态方程 ∑:x=A(1)x+B(t)u,t∈J 其中:x为n维状态向量,l为P维输入向量,J为 时间定义区间,A和B分别为n×1和n×P的元为t 的连续函数的矩阵。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 006
第三章 其中： 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 线性时变系统的状态方程 x n u能控性定义 时间定义区间， 和 分别为 和 的元为 u p J A B n n ´ n p ´ 的连续函数的矩阵。 t S : x& = A(t) x + Î B (t) , u t J 006
HIT 第三章 定义1:线性时变系统Σ,如果对取定初始时刻,to∈J 的一个非零初始状态x0,存在一个时刻t1∈J,1>to, 和一个无约束的容许控制n(t),t∈[4],使状态由x0 转移到4时x(1)=0,则称此x是在t时刻为能控的。 定义2:线性时变系统∑,如果状态空间中的所有非零状态 都是在t0(t0∈J)时刻为能控的,则称系统Σ在时刻l是 完全能控的 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 007
第三章 的一个非零初始状态 ，存在一个时刻 ， 0 定义 1：线性时变系统 S ，如果对取定初始时刻，t J Î 1 1 0 t Î > J , t t 和一个无约束的容许控制 ，使状态由 0 x 0 x 转移到 时 ，则称此 是在 时刻为能控的。 u (t ), , t Î [t t 0 1 ] 1 x t ( ) 0 = 1 t 0 t 0 x 都是在 时刻为能控的，则称系统 在时刻 是 定义 2：线性时变系统 S ，如果状态空间中的所有非零状态 完全能控的。 0 0 t ( ) t J Î S 0 t 007
HIT 第三章 定义3:线性时变系统∑,取定初始时刻to∈J,如果状 态空间中存在一个或一些非零状态在时刻.是不能控的,则 酒称系统∑在时刻t是不完全能控的。 解释: ①使t时刻的非零状态x在J上的一段有限时间转移到坐标 原点,对其轨迹不加以限制和规定。 ②无约束表示对输入幅值不加限制。容许控制表示输入的所有 分量在J上平方可积。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 008
第三章 态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能控的，则 定义 3：线性时变系统 S ，取定初始时刻 ，如果状 称系统 在时刻 是不完全能控的。 0 t J 0 t ①使 时刻的非零状态 在 上的一段有限时间转移到坐标 解释： S 原点，对其轨迹不加以限制和规定。 0 t J Î 0 x 0 t J ②无约束表示对输入幅值不加限制。容许控制表示输入的所有 分量在 上平方可积。 008
HIT 第三章 ③取定时刻t,对时变系统是完全必要的,定常系统与 的选取无关。 ④非零状态→零状态,能控 零状态→非零状态,能达。 线性定常系统能控等价能达。 时变系统不能等价 ⑤不完全能控系统,某些参数的很小的变动,可使其变为 全能控。 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 009
第三章 0 ③取定时刻 t ，对时变系统是完全必要的，定常系统与 的选取无关。 0 t ④非零状态 ® 零状态，能控。 零状态 ® 非零状态，能达。 线性定常系统 能控等价能达。 时变系统 不能等价。 ⑤不完全能控系统， 不完全能控系统，某些参数的很小的变动，可使其变为完 全能控。 009
HIT 第三章 ◆能观测性定义 能观测性表征状态可由输出的完全反映性,应同时考虑 系统的状态方程和输出方程。 ∑:=A(t)x+B(t)u,t∈J y=C(t)x+D(t)u, x(to)=xo 其中:A(t),B(t),C(t)和D()分别为n×n, nXp,q×n和q×p的满足状态方程解的存在唯 性条件的时变矩阵 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 010
第三章 其中： 和 分别为 ， 能观测性表征状态可由输出的完全反 征状态可由输出的完全反映性，应同时考虑 A ( t ) , B ( t ) , C t ( ) D t( ) u能观测性定义 和 的满足状态方程解的存在唯一 n n ´ n ´ ´ p , q n q p ´ 性条件的时变矩阵。 0 0 : ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) x A t x B t u t J y C t x D t u x t x S = + Î = + = & 系统的状态方程和输出方程。 010