第8章相量法 重点: 1.正弦量的表示、相位差; 2.正弦量的相量表示 3.电路定理的相量形式;
第8章 相量法 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式； ⚫ 重点： 1. 正弦量的表示、相位差；
81正弦量的基本概念 正弦电流电路]→激励和购均为正弦量的电路称 1.正弦量 波形: 瞬时值表达式 i(0)=lmC0s(什y) 周期T( period和频率f( frequency): 周期T:重复变化一次所需的时间。单位:s,秒 频率∫:每秒重复变化的次数 单位:Hz,赫(兹)
⚫ 正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 8.1 正弦量的基本概念 1. 正弦量 瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w t+y) 波形： t i O y/w T 周期T (period)和频率f(frequency) : 频率f ：每秒重复变化的次数。 周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：Hz，赫(兹) 单位：s，秒 T f 1 =
2正弦量的三要素 i(t=Icos(ot+y) (1)幅值( amplitude)(振幅、最大值)lm 反映正弦量变化幅度的大小 (2)角频率( angular frequency)O 相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。 O=2=2 单位:rads,弧度/秒 T (3)初相位( initial phase angle)y 反映正弦量的计时起点。 2 ot
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im (2) 角频率(angular frequency)w 2. 正弦量的三要素 t i O y/w (3) 初相位(initial phase angle) y T Im 2 wt T w = 2 f = 2 单位： rad/s ，弧度 / 秒 反映正弦量变化幅度的大小。 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点。 i(t)=Imcos(w t+y)
同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同。 般规定:|Y|≤。 =0 y=T/2 π/2
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 t i O 一般规定：| | 。 y =0 y =/2 y =－/2
例 已知正弦电流浪形如图,o=103rads,(1 100 写出i表达式; (2)求最大值发生的时间t1 507 解i(r)=100c0s(10°t+6) 0 t=0→)50=100c0s6 0=±x/3 时于最大值发生任计点之后→=3 i()=100c0(10°t-) 兀/3 当10°1=z/3有最大值 =1.047n 10
例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，（1） 写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 t i 0 100 50 t1 解 ( ) 100cos(10 ) 3 i t = t + t = 0→50 = 100cos = 3 由于最大值发生在计时起点之后 3 = − ) 3 ( ) 100cos(103 i t = t − 当 103 t 1 = 3 有最大值 t 1.047ms 10 3 1 ＝ 3 ＝
3同频率正弦量的相位差( phase difference 设u()=UmC0s(计ya),i(0=lmC0s(0ty 则相位差:q=(a计yn)(ty=yay 等于初相位之差 规定:{q|≤π(180°)。 q>0,u超前iy角,或落后up角比洗到达最大值) ot q<0,i超前iφ角,或滞后ip角比u先到达最大值
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 设 u(t)=Umcos(w t+y u ), i(t)=Imcos(w t+y i ) 则 相位差 ：j = (w t+y u )- (w t+y i )= y u-y i • j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； • j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。 w t u, i u i yuyi j O 等于初相位之差 规定： |j | (180°)
特殊相位关系: q=土兀(±180°),反相 q=0,同相: L iot 0 t u π/2 u领先i/2,不说u落后i3π/2; 0 ot i落后uπ/2,不说i领先u3π/2。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差
j ＝ 0， 同相： j = (180o 特殊相位关系： ) ，反相： w t u, i u i 0 w t u, i u 0 i j= /2： u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。 w t u, i u i 0 同样可比较两个电压或两个电流的相位差
例计算下列两正弦量的相位差。解 (1)i1()=10c0s(1007x+37/4)p=3m/4-(-/2)=5z/4>0 2(t)=10c0s(100t-x/2)→q=27-57/4=37/4 2)i1(1)=10c0s(1007t+30)i2(t)=10cos(100m-105 ()=10sin(100x-15)g =30-(-105)=1350 (3)u1()=10c0s(1007t+30) 01≠2 u2()=10c0s(2007t+45)不能比较相位差 ()=5c0s(1007t-30°)i()=3c0s(100-150°) i4()=-3c0s(100+30)q=-30°-(-150°)=12 0 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号,且在主值范围比较
例 计算下列两正弦量的相位差。 ( ) 10sin(100 15 ) (2) ( ) 10cos(100 30 ) 0 2 0 1 = − = + i t t i t t ( ) 10cos(100 2) (1) ( ) 10cos(100 3 4) 2 1 = − = + i t t i t t ( ) 10cos(200 45 ) (3) ( ) 10cos(100 30 ) 0 2 0 1 = + = + u t t u t t ( ) 3cos(100 30 ) (4) ( ) 5cos(100 30 ) 0 2 0 1 = − + = − i t t i t t 解 j = 3 4−(− 2) = 5 4 0 j = 2 − 5 4 = 3 4 0 0 0 j = 30 − (−105 ) = 135 0 0 0 j = −30 − (−150 ) = 120 ( ) 10cos(100 105 ) 0 i 2 t = t − 不能比较相位差 w1 w2 ( ) 3cos(100 150 ) 0 i 2 t = t − 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较
4.周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变,为了衡量其大 小工程上采用有效值来表示。 [周期电流、电压有效值( (effective value是义 直流ⅠR 交流R 物理意义 W=RI'T W=L Ri2(t)dt 0 电流有效 def 值定义为 T 有效值也称均方根值 ()dt(root-meen-square 0
4. 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大 小工程上采用有效值来表示。 ⚫ 周期电流、电压有效值(effective value)定义 直流I R 交流i R W Ri t t T ( )d 2 0 W RI T = 2 = 电流有效 值定义为 = T i t t T I 0 2 def ( )d 1 有效值也称均方根值 (root-meen-square) 物 理 意 义
同样,可定义电压有效值: def 1 FT 正弦电流、电压的有效值 7()dn 设i()=lmc0s(+y) Im coS(ot+y)dt TJo T 1+cos 2(@t+p) cos(at+y)dt dt=-t T 2 2 T 0.707I T2 /2 i(t)=I cos(@t+p)=V2I cos(@t+p)
同样，可定义电压有效值： = T u t t T U 0 2 def ( )d 1 ⚫ 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ ) I t Ψ t T I T cos ( )d 1 0 2 2 = m w + t t T t Ψ t Ψ t T T T 2 1 2 1 d 2 1 cos 2( ) cos ( )d 0 0 0 2 = = + + + = w w m 2 m m 0.707 2 2 1 I T I I T I = = = ( ) cos( ) 2 cos( ) i t = I m w t +Ψ = I w t +Ψ I 2I m =