山东大学：《数字电路》讲义课件_第二章 逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础 用数学方法表示命题陈述的逻辑结构,将形式逻辑归结为代数演算, 称为“布尔代数”。将布尔代数用于集成电路逻辑门,称为逻辑代数。 2.1逻辑代数的基本概念 逻辑代数由逻辑变量集K,常量0和1,以及“或”、“与” “非”三种基本运算所构成。该系统满足以下公理,对应不同的律。 交换律:A+B=B+A,A·B=B·A 结合律:(4+B)+C=A+(B+C),(A·B)·C=A(BC 分配律:A+(B·C)=(A+B)·(A+C) A(B+C)=A·B+A·C 0-1律:A+0=A,A+1=1,A●0=0,A·l=A 互补律:A+A=l,AA=0

第二章 逻辑代数基础 用数学方法表示命题陈述的逻辑结构，将形式逻辑归结为代数演算， 称为 “布尔代数”。将布尔代数用于集成电路逻辑门，称为逻辑代数。 2．1 逻辑代数的基本概念 逻辑代数由逻辑变量集K，常量 0 和 1，以及 “或”、“与”、 “非” 三种基本运算所构成。该系统满足以下公理，对应不同的律。 交换律： ， 结合律： ， 分配律： 0–1律： 互补律： A+ B = B+ A A•B = B• A (A+ B) +C = A+ (B +C) (A• B) •C = A• (B•C) A+ (B•C) = (A+ B) • (A+C) A+0 = A，A+1 = 1，A•0 = 0，A•1= A A+ A = 1，A• A = 0 A• (B +C) = A• B + A•C

2.1.1逻辑变量和基本逻辑运算 逻辑变量取值0或1,用开关的通与断、电压的高与低、晶体管的 导通与截止来表征。可通过逻辑变量和“或”、“与”、“非”组合 的逻辑算式描述数字系统 1“或”运算 决定某一事件发生的条件中有一个以上条件成立,事件便发生。这 种因果关系称为“或”。记做:F=A+B或F=AVB。 算法则为:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1,见“1”为 “1”。实现该运算的门电路称为“或”门。 2“与”运算 决定某一事件发生的条件同时成立,事件便发生。这种困果关系称 为“与”。记做:F=4·B或F=AAB。一 运算法则为:0·0=0,0·1=0,1·0=0,1·1=1,见“0”为 “03。实现该运算的门电路称为“与”门

2．1．1 逻辑变量和基本逻辑运算 逻辑变量取值 0 或 1，用开关的通与断、电压的高与低、晶体管的 导通与截止来表征。可通过逻辑变量和“或”、“与”、“非”组合 的逻辑算式描述数字系统。 1．“或”运算 决定某一事件发生的条件中有一个以上条件成立，事件便发生。这 种因果关系称为“或”。记做：F = A + B 或 F = A∨ B。 运算法则为：0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1，1 + 1 = 1，见 “1” 为 “1”。实现该运算的门电路称为“或”门。 2．“与”运算 决定某一事件发生的条件同时成立，事件便发生。这种因果关系称 为 “与”。记做：F = A • B 或 F = A∧B。 运算法则为：0 • 0 = 0，0 • 1 = 0，1 • 0 = 0，1 • 1 = 1，见 “0” 为 “0”。实现该运算的门电路称为“与”门

2.1.1逻辑变量和基本逻辑运算 3.“非”运算 某一事件的发生取决于条件的否定,这种因果关系称为“非”。记 做F,运算法则为:A为0则F为1,A为1则F为0。 UA B +U U F A F B ⊥F “或”示意图 “与”示意图 “非”示意 图 2.1.2逻辑函数的表示法 1.逻辑表达式 由变量通过“或”、“与”、“非”三种运算符进行组合,三种 运算符的优先级推序为“非”、“与”、“或

2．1．1 逻辑变量和基本逻辑运算 3．“非”运算 某一事件的发生取决于条件的否定，这种因果关系称为“非”。记 做F = ， 运算法则为：A 为 0 则 F 为 1，A 为 1 则 F 为 0。 +U A B +U +U F A F B F “或” 示意图 “与” 示意图 “非” 示意 图 2．1．2 逻辑函数的表示法 1．逻辑表达式 由变量通过 “或”、“与”、“非”三种运算符进行组合，三种 运算符的优先级排序为“非”、“与”、“或”。 A

2.1.2逻辑函数的表示法 与”运算符可省略,如B=AB 非”运算、先“与”后“或”运算可省略 真值表 括弧+:(A·B)+(C·D)=AB+CD A B C F 2.真值表 0000 用表格的形式描述逻辑函数的方法称为真 001 值表。每个逻辑变量有两种取值,n个变量有0100 2种取值组合。真值表左边一栏为变量,右边0111 一栏为逻辑函数值。 001 例:F=AB+AC对应的真值表为: 10 00 3.卡诺图 0 将n个变量的2种取值组合按某种顺序填 入小方格构成的平面图,构成一种描述逻辑函数的图形。称为卡诺图

2．1．2 逻辑函数的表示法 “与” 运算符可省略，如 ， “非” 运算、先 “与” 后 “或” 运算可省略 括弧，如： ， 。 2．真值表 用表格的形式描述逻辑函数的方法称为真 值表。每个逻辑变量有两种取值，n 个变量有 2 n 种取值组合。真值表左边一栏为变量，右边 一栏为逻辑函数值。 例： 对应的真值表为： 3．卡诺图 将 n 个变量的 2 n 种取值组合按某种顺序填 A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 真值表 A+ B A• B = AB (A• B) + (C • D) = AB +CD F = AB + AC 入小方格构成的平面图，构成一种描述逻辑函数的图形。称为卡诺图

2.2逻辑函数的基本定理和规则 2.2.1基本定理 定理1:0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=1 0·0=0、0·1=0、1·0=0、1·1=1 定理2:A+A=A、A·A=A 定理3:A+A·B=A、A·(A+B)=A 定理4:A+A·B=A+B,A(A+B)=A·B 定理5:A=A 定理6:A+B=A·B,A·B=A+B 定理7:A●B+A·B=A、(A+B)·(A+B)=A 定理8:A●B+A·C+B·C=A·B+AC (A+B)·(A+C)·(B+C)=(A+B)·(A+C)

2．2 逻辑函数的基本定理和规则 2．2．1 基本定理 定理 1：0 + 0 = 0、0 + 1 = 1、1 + 0 = 1、1 + 1 = 1 0 • 0 = 0、0 • 1 = 0、1 • 0 = 0、1 • 1 = 1 定理 2：A + A = A、A • A = A 定理 3：A + A • B = A、A •（A + B）= A 定理 4： 定理 5： 定理 6： ， 定理 7： 定理 8： A = A A• B + A• B = A、（A+ B）•（A+ B）= A A• B + A•C + B•C = A• B + A•C （A+ B）•（A+C）•（B +C）=（A+ B）•（A+C） A+ A• B = A+ B，A•（A+ B）= A• B A+ B = A• B A• B = A+ B

2.2.2重要规则 代入规则 将逻辑式中所有出现同一变量的地方用某一逻辑函数代替,等式仍 然成立 例:A(B+C)=AB+AC,将所有出现C的地方都用(C+D)代 替,则等式仍然成立。A(B+(C+D))=AB+A(C+D)。 2.反演规则 将函数式中的“·”变成“+”,“+”变成“·”,“0”变成 “1”,“1变成“03,原变量变成反变量,反变量变成原变量,并保 持运算次序不变,得到的新函数为原函数F的反函数,这一规则称为 反演规贴=AB+CDF=(4+B)C+D) 例: 则 3.对偶规则 将函数式中的“·”变成“+”,“+”变成“·”,“0”变成 “13,“1”变成“03,并保持运算次序不变,得到的新的逻辑表达式 为原函数式的对偶式,记做F。F与F互为对偶式

2．2．2 重要规则 1．代入规则 将逻辑式中所有出现同一变量的地方用某一逻辑函数代替，等式仍 然成立。 例：A ( B + C ) = AB + AC，将所有出现C 的地方都用 ( C + D ) 代 替，则等式仍然成立。A ( B + ( C + D ) ) = AB + A ( C + D )。 2．反演规则 将函数式中的 “ • ” 变成 “ + ”，“ + ” 变成 “ • ” ，“0” 变成 “1”，“1” 变成 “0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保 持运算次序不变，得到的新函数为原函数F 的反函数 ，这一规则称为 反演规则。 例： ，则 3．对偶规则 将函数式中的 “ • ” 变成 “ + ”，“ + ” 变成 “ • ” ，“0” 变成 “1”，“1” 变成 “0”，并保持运算次序不变，得到的新的逻辑表达式 为原函数式的对偶式，记做F’。F 与 F’ 互为对偶式。 F F = AB +CD F =（A+ B）•（C + D）

2.2.2重要规 例:F=AB+B(C+0),F=(A+BB+C·1 F=AB+AC+C(D+E), F=(A+B(A+C)(C+ DE) 根据对偶规则,当两个逻辑表达式相等时,其对偶式也相等。如: AB+AC+BC=AB+C,则(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)·C 2.2.3复合逻辑 1.与非逻辑 由与、非两种逻辑复合而成,实现与非逻辑的门电路称为与非门。 逻辑表达式为:F=ABC…。仅当输入全为1时F输出为0,输入 有一个为0时F输出为1。用与非门可以实现与、或、非三种操作。 A●B=AB=AB●l 或A+B=A●B=A·1B·1 非A=A·1

2．2．2 重要规则 例： 根据对偶规则，当两个逻辑表达式相等时，其对偶式也相等。如： ，则 2．2．3 复合逻辑 1．与非逻辑 由与、非两种逻辑复合而成，实现与非逻辑的门电路称为与非门。 逻辑表达式为： 。仅当输入全为 1 时F 输出为 0，输入 有一个为 0 时F 输出为 1。用与非门可以实现与、或、非三种操作。 与 或 非 F = AB + AC +C(D + E)，F’ = (A+ B)(A+C)(C + DE) AB + AC + BC = AB +C (A+ B)(A+C)(B +C) = (A+ B) •C F = A• B •C F = AB + B(C + 0)，F’ = (A+ B)(B +C •1) A• B = AB = AB •1 A+ B = A• B = A•1• B •1 A = A•1

2.2.3复合逻辑 2.或非逻辑 由或、非两种逻辑复合而成,实现或非逻辑的门电路称为或非门。 逻辑表达式为:F=A+B+C…。输入全为0时F输出为1,输入有一 个为1时F输出为0。用或非门也可以实现与、或、非三种操作。 与AB=A+B=A+0+B+0 或A+B=A+B=A+B+0 非 A=A+0 3.与或非逻辑 由与、或、非三种逻辑复合而成,实现与或非逻辑的门电路称为与 或非门。逻辑表达式为:F=AB+CD+…。仅当每一个“与项”均 为0时F输出为1,否则F输出为0。 可以将任一个逻辑表达式转换成与或非表达式。 例:F=AB+C=AB·C=(A+B)·C=AC+BC

2．2．3 复合逻辑 2．或非逻辑 由或、非两种逻辑复合而成，实现或非逻辑的门电路称为或非门。 逻辑表达式为： 。输入全为 0 时 F 输出为 1，输入有一 个为 1 时 F 输出为 0。用或非门也可以实现与、或、非三种操作。 与 或 非 3．与或非逻辑 由与、或、非三种逻辑复合而成，实现与或非逻辑的门电路称为与 或非门。逻辑表达式为： 。仅当每一个“与项” 均 为 0 时 F 输出为 1，否则 F 输出为 0。 可以将任一个逻辑表达式转换成与或非表达式。 例： F = AB +CD + F = AB +C = AB•C = (A+ B) •C = AC + BC F = A+ B +C A• B = A+ B = A+0 + B +0 A+ B = A+ B = A+ B +0 A = A+0

2.2.3复合逻辑 4.异或逻辑 一种双变量逻辑关系。函数表达式为:F=A⊕B=AB+AB。输入 相同时F输出为0,输入不同时F输出为1。 A⊕O=A、A④=AAA=0、A④A=1 多个变量做异或时,若变量中1的个数为奇数,则异或结果为1, 若变量中1的个数为偶数,则异或结果为Q。因此常用于奇偶校验。 5.同或逻辑 种双变量逻辑关系。函数表达式为:F=A⊙B=AB+AB。输入 相同时F输出为1,输入不同时F输出为0。 同或和异或的关系即互为相反又互为对偶。 A④B=AB+AB=(A+B)(A+B)=AB+AB=A⊙B (AGB)’=(AB+AB)’=(A+B)(A+B)=AB+AB=ACB

2．2．3 复合逻辑 4．异或逻辑 一种双变量逻辑关系。函数表达式为： 。输入 相同时 F 输出为 0，输入不同时F 输出为1。 多个变量做异或时，若变量中1 的个数为奇数，则异或结果为1， 若变量中1 的个数为偶数，则异或结果为0。因此常用于奇偶校验。 5．同或逻辑 一种双变量逻辑关系。函数表达式为：F = A⊙B 。输入 相同时 F 输出为 1，输入不同时F 输出为 0。 同或和异或的关系即互为相反又互为对偶。 A⊙B A⊙B A B = AB + AB = (A+ B)(A+ B) = AB + AB = (A B)’ = (AB + AB)’ = (A+ B)(A+ B) = AB + AB = F = A B = AB + AB = AB + AB A0 = A、A1 = A、A A = 0、A A = 1

2.3逻辑函数表达式的形式与变换 2.3.1逻辑函数表达式的基本形式 1.“与-或”表达式 由若干“与项”进行“或”运算构成的表达式。每个“与项” 可以是单个变量的原变量或反变量,也可以是多个原变量或反变量相 “与”组BC)=AB+ABC+C 如 “与项”又被称为“积项”,“与-或”表达式称为“积之和” 表达式。 2.“或-与”表达式 由若声(x衷西”进行A+庐笔戍库≯D每个“或项” 可以是单个变量的原变量或反变量,也可以是多个原变量或反变量相 “或”组成

2．3 逻辑函数表达式的形式与变换 2．3．1 逻辑函数表达式的基本形式 1．“与– 或” 表达式 由若干 “与项” 进行 “或” 运算构成的表达式。每个“与项” 可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相 “与” 组成。 如： “与项” 又被称为 “积项”，“与– 或” 表达式称为 “积之和” 表达式。 2．“或– 与” 表达式 由若干 “或项” 进行 “与” 运算构成的表达式。每个“或项” 可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相 “或” 组成。 如： F(A,B,C）= AB + ABC +C F(A,B,C,D) = (A+ B)(B +C)(A+ B +C) • D