《统计学》课程教学资源（PPT课件讲稿）参数估计（区间估计）

参数估计

参数估计

提纲 口矩 The Method of Moments 口极大似然估计( The Method of maximum Likelihood) 口计量的评选标准 口区间估计

提纲  矩估计(The Method of Moments)  极大似然估计（The Method of Maximum Likelihood）  估计量的评选标准  区间估计 2

内容 口基本概念与枢轴变量法 口正态总体情形 口双正态总体情形 口单侧置信区间 口非正态总体均值的区间估计

内容  基本概念与枢轴变量法  正态总体情形  双正态总体情形  单侧置信区间  非正态总体均值的区间估计 3

区间估计 区间估计:根据样本给出未知参数θ 的一个范围(0,02),并保证这个范围以 较大概率包含参数真值,即: P(04(X1,x2,L,Xn)<6<02(X1,X2,L,Xn)=1-a

区间估计 4 区间估计：根据样本给出未知参数θ 的一个范围 ，并保证这个范围以 较大概率包含参数真值，即： θ θ 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ( ( , , , ) ( , , , )) 1 P X X X X X X n n L L   = −   θ θ 1 2 ˆ ˆ ( , )

置信区间与置信度 定义:设总体X含未知参数;对于样本 1,L,X,找出统计量 0=0(X1,L,X)(i=12),B<O2,使得: P{≤6≤29=1-a,(0<a<1) 称区间,a2为e置信区间1-a为该 区间的置信度

置信区间与置信度 5 1 1 1 2 , , , ˆ ˆ ˆ ( , , ) ( 1,2), , = =  n i i n X X X X X i      定义：设总体 含未知参数 ；对于样本 找出统计量: 使得： L L 1 2 ˆ ˆ P{ } 1 , (0 1)        = −   1 2 ˆ ˆ [ ] 1 称区间    ， 为 的置信区间，− 为该 区间的置信度

区间[,B2是一个随机区间-c给出 该区间含真值θ的可靠程度。c表示该区 间不包含真值的可能性 例如:若α=5%,即置信度为l-a=95%,重 复抽样100次,得到100个区间,其中包含θ真 值的有95个左右,不包含O真值的有5个左右。 通常,采用95%的置信度,有时也取99或90%

6 1 2 ˆ ˆ [ ] 1       区间 ， 是一个随机区间；− 给出 该区间含真值 的可靠程度。 表示该区 间不包含真值 的可能性。 5% 1 95%. 100 100 95 5     例如：若 = − = ，即置信度为 重 复抽样 次，得到 个区间，其中包含 真 值的有 个左右，不包含 真值的有 个左右。 通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%

几点说明 1.置信区间的长度L反映了估计精度, L越小,估计精度越高. 2.α反映了估计的可靠度,a越小,越可靠 a越小,1-a越大,估计的可靠度越高,但 这时,L往往增大,因而估计精度降低 3.a确定后,置信区间的选取方法不唯 常选长度最小的一个

几点说明 7 2.  反映了估计的可靠度,  越小, 越可靠. 1. 置信区间的长度L 反映了估计精度,  越小, 1-  越大, 估计的可靠度越高,但 3.  确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选长度最小的一个. L 越小, 估计精度越高. 这时, L 往往增大, 因而估计精度降低

枢轴变量法 1.先找到一样本函数U(X1X2…,Xm;), 其包含待估参数日,而不包含其他未知 参数,且U的分布已知,不依赖于任何 未知参数。U被称为枢轴变量。 2.给定置信度1-a,根据U的分布找2个 常数a和b,使得P(a<U<b)=1-a 3.由a<U<b解出1<6<2,则 (01,62)为所求置信区间

枢轴变量法 8 1. 先找到一样本函数𝑼(𝑿𝟏,𝑿𝟐,… ,𝑿𝒏;𝜽), 其包含待估参数𝜽，而不包含其他未知 参数，且𝑼的分布已知，不依赖于任何 未知参数。𝑼被称为枢轴变量。 2. 给定置信度𝟏 − 𝜶，根据𝑼的分布找2个 常数𝒂和𝒃，使得𝑷 𝒂 < 𝑼 < 𝒃 = 𝟏 − 𝜶 3. 由𝒂 < 𝑼 < 𝒃解出𝜽 ෡ 𝟏 < 𝜽 < 𝜽 ෡ 𝟐，则 (𝜽 ෡ 𝟏,𝜽 ෡ 𝟐)为所求置信区间

正态总体,均值的μ区间估计 设X1…,Kn为总体X~N(402)的一个样本 在置信度1-a下,来确定的置信区间,O2l (1).已知方差,估计均值 设已知方差a2=a2,则U/、Xy~MO,1) 对于给定的置信度1-a,查正态分布表,找出临界 值λ,λ2,使得 P(41≤U≤2)

正态总体，均值的μ区间估计 9 2 1 1 2 , , ~ ( , ) 1 [ ] X X X N n   −    设 为总体 的一个样本。 在置信度 下，来确定 的置信区间 ， 。 (1). 已知方差，估计均值 2 2 0 0 , ~ (0,1) / X U N n     − 设已知方差 = = 则 。 1 2 1 2 1 : { } 1 . P U       −   = − 对于给定的置信度 ，查正态分布表，找出临界 值 ， ，使得

正态总体,均值的μ区间估计 由此可找出无穷多组λ,:;通常我们取对 称区闻-,4]使:P(-≤U≤4}=1-a 对称区间最短 由图,=1a12 查正态分布表(un2)=1-a/2,求出ln2 -1L.≤ < 2

正态总体，均值的μ区间估计 10 1 2 [ , ], {- } 1- P U   −   =      由此可找出无穷多组 ， ；通常我们取对 称区间 使： 即： /2 /2 0 - {- } 1- / X P u u n        = 对称区间最短 / 2 u 由图， =  /2 /2 ( ) 1 / 2, u u 查正态分布表 = −    求出