第5章动能定理 在笛卡儿提出动量守恒原理后42年,德国数学家、哲 学家莱布尼兹( Leibniz,1646~1716)提出了“活力”概 念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样,莱布尼兹也相信 宇宙中运动的总量必须保持不变,不过和笛卡儿不同,他 认为应该用mv2表示这个量,而不是n my 莱布尼兹与笛卡儿关于mv2和mv之争,在历史上曾 门逐渐明白,这 类A是两种不同的守恒规律,菜布尼的“活力”守恒应归 结为机械能守恒。 下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定 义
第5章 动能定理 在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家、哲 学家莱布尼兹（Leibniz，1646~1716）提出了“活力”概 念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信 宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他 认为应该用 mv 2 表示这个量，而不是 mv。 莱布尼兹与笛卡儿关于 mv 2 和 mv 之争，在历史上曾 经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这 是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归 结为机械能守恒。 下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定 义
牛顿一动量、机 械能守恒 笛卡尔一动量守恒 莱布尼兹一“活 力”守恒
笛卡尔─动量守恒 莱布尼兹─“活 力”守恒 牛顿─动量、机 械能守恒
5.1动 质点动能定理 我们知道,力的冲量可以使物体(质点)的动量发生改变;力 又是如何使物体的动能发生改变的呢?为此,我们计算一下单位时 间动能的改变。 对于直线运动,考虑物体在力的作用下动能的改变,我们有: de mv2=my dv ev=F dE = FY de= fds 这是元过程的表达式,对于有限过程,则可以两边积分得: Ek-Exo2mv-)mv=Fds
质点动能定理 我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力 又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时 间动能的改变。 对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有： dt ds Fv F dt dv mv mv dt d dt dEk = = = = 2 2 1 Fv dt dEk = dE Fds 即： k = 这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得： − = − = t t Ek Ek mv mv Fds 0 2 0 2 0 2 1 2 1
质点动能定理 对于一般的曲线运动,考虑物体在力的作用下动能的改变,我 们有 de. d(1 1m2)=m。w=Fy=Fr dt 即: dE = =FV dE=F·dr 由上式知,动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速 度的标积。由于能量概念的重要性,我们把my22称为动能,把 F*v称作力传递给物体的功率。以P表示功率,有 P=F●v 因此,上述结论又可以说成:一个物体动能的时间变化率等于作用 在该物体上的力传递给物体的功率。我们把F*dr称作力对物体作 的元功。对上式积分得: △Ek=EAE6=m()-mv2()=JFdr=」, Fcos e 2
质点动能定理 对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我 们有： dt d dt d mv m dt d dt dEk r F v F v = v • = • = • = 2 2 1 即： = F • v dt dEk dE F dr k = • 由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速 度的标积。由于能量概念的重要性，我们把mv2 /2 称为动能，把 F﹡v称作力传递给物体的功率。以P 表示功率，有： P = F• v 因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用 在该物体上的力传递给物体的功率。我们把F﹡dr 称作力对物体作 的元功。对上式积分得： = − = − = • = t t t Ek Ek Ek m v t m v t d F ds t 0 2 2 0 0 0 ( ) cos 2 1 ( ) 2 1 F r
质点动能定理 △EA=E、WNm2()-mv(o) 2 JF·dr= Fcos 8 ds 此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功,通常把该式称为 质点动能定理:即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程 中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内 的一种表述。 小结:力的空间累积效应是使物体的动能改变
质点动能定理 = − = − = • = t t t Ek Ek Ek m v t m v t d F ds t 0 2 2 0 0 0 ( ) cos 2 1 ( ) 2 1 F r 此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为 质点动能定理：即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程 中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内 的一种表述。 小结：力的空间累积效应是使物体的动能改变
质点动能定理 由质点动能定理及其推导可知: 1.做功是通过力来实现的; 2.做功的多少一般与路径有关; 3.质点动能定理成立的参考系为惯性系
质点动能定理 由质点动能定理及其推导可知： 1. 做功是通过力来实现的； 2. 做功的多少一般与路径有关； 3. 质点动能定理成立的参考系为惯性系
功和功率 物理学上的功定义为力F与位移元dr标积的线积分, 若以A表示功,有: A F·dr=. Fcos0 ds 其意思是:如果有一个力作用于物体上,同时物体在某 入方向上发生位移,则只有位移方向上的分力作了功, ANOVER
功和功率 物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分， 若以 A 表示功，有： = • = t t t A d F ds t 0 0 F r cos 其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某 一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功， 与位移成直角的力不作功
功和功率 有时重要的问题不是能作多少功,而是作功的效率, 即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率: dA P F●V dt 简单机械可以省力,但功率是不能放大的。 在国际单位制中,力的单位是牛顿(N),功的单 A位则为生顿米Nm:通常把牛每米称的作1集耳 有相同的量纲。功率的单位是焦耳/秒,也称瓦(W)。 如果用瓦乘以时间就是所作的功,电力公司在计算每家 用电量时,常采用千瓦小时来计量用电量的多少,1千 瓦小时等于1千瓦乘3600秒,即36×106焦耳
功和功率 有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率， 即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率： = = F • v dt dA P 简单机械可以省力，但功率是不能放大的。 在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单 位则为牛顿·米（N·m），通常把1牛顿·米称作1焦耳 （J），由上面给出的动能、功的定义不难验证，它们具 有相同的量纲。功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。 如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家 用电量时，常采用千瓦·小时来计量用电量的多少，1千 瓦·小时等于1千瓦乘3600秒，即 3.6×106 焦耳
功率的其他单位一千瓦、兆瓦和马力 M:KK 4523 类A“宝马”M双门跑车, 5LV8引擎,功率输出可 达到628HP/468kW ξ俄亥俄”级战略核潜艇, 通用电气S8G自然循环压 水冷却式核子反应炉,反 应堆热功率250MW
功率的其他单位—千瓦、兆瓦和马力 “俄亥俄”级战略核潜艇， 通用电气S8G自然循环压 水冷却式核子反应炉，反 应堆热功率250MW “宝马” M3双门跑车 ， 5.7L V8引擎，功率输出可 达到628HP/468kW
质点系动能定理 m11=F1+f2+f3+…+f m2r2=f21+F2+f23+…+f2n m2r1=f31+f2+F3+…+f3n m=f,+f,+f,+…+F m·v=」,F·v+ lo 6·vdt+f,·v,dt+…+ to 07(-1)v,dt+[ fa·vd+…+ f ov di E()E(t0)=A+A1+A2+…+A(-+A(+…+An
质点系动能定理 = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + n n n n n n n n n m m m m r f f f F r f f F f r f F f f r F f f f 1 2 3 3 3 3 1 3 2 3 3 2 2 2 1 2 2 3 2 1 1 1 1 2 1 3 1 dt dt dt m dt dt dt dt i n i t t i i i t t i i i t t i i t t t t i i t t i i t t i i i f v f v f v v F v f v f v + • + • + + • • = • + • + • + + − + 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 1) 1 2 r ki ki Ai Ai Ai Ai i Ai i Ai n E (t) − E (t 0 ) = + 1 + 2 ++ ( −1) + ( +1) ++