西安电子科技大学：《固体物理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 固体能带论——固体中电子的状态和能谱 §4-4-2 近自由电子模型

会的 近自由电子模型 O 5方

三．近自由电子模型

无限大真空中 周期性边界 自由电子气 自由电子 条件 k取分离值 k可取连续值 泡利不相容索木非模周期势场,近自由电 费米分们型自由电微扰子模型 S一方程子费米气 5方 晶体中电子与自由电子的区别在于 周期边界条件和周期势场

无限大真空中 自由电子 k可取连续值 周期性边界 条件 自由电子气 k取分离值 索末菲模 型自由电 子费米气 泡利不相容 费米分布 S－方程 周期势场 微扰 近自由电 子模型 晶体中电子与自由电子的区别在于 周期边界条件和周期势场

如果假设晶体中有一个很弱的 周期势场,则电子的运动情况应 当与自由电子比较接近,但同时 也必然能体现出周期势场中电子 状态的新特点,这样的电子就叫 近自由电子

如果假设晶体中有一个很弱的 周期势场，则电子的运动情况应 当与自由电子比较接近，但同时 也必然能体现出周期势场中电子 状态的新特点，这样的电子就叫 近自由电子

近自由电子哈密顿算符可写成: ooh=at H 其中 H 方2 V2 92m是自由电子的哈密顿算你 O 27T =T(x)=∑D 后用 72 2 ,1J(x O

近自由电子哈密顿算符可写成 : 其中    = + ' H H0 H 2 2 0 2 ˆ = −  m H  是自由电子的哈密顿算符；   =− = n nx a i H V x Vn e 2 ( ) ˆ ’ ＝ V x e dx a V nx a i a n 2 0 ( ) 1 − ＝  后用

2 ∫(x)e P-l-nx ∠x O 或 ∫(x)e- G,dx O 两边取共轭1 公 Gn y*(x) o O ∵周期场是实的V(x)=V(x) V※=V Gn V※= 2后用 值 n

V x e dx a V nx a i a n 2 0 ( ) 1 − ＝  V x e dx a V iG x a G n n −  0 ( ) 1 ＝ 或 两边取共轭 V x e dx a V iG x a G n n  0 * * ( ) 1 ＝ ∵周期场是实的 V(x)＝V※（x） ∴ VGn ※＝V－Gn V※ n ＝V－n 后用

1定态非简并微扰 由量子力学定态非简并微扰理论可知, 定态薛定谔方程 H平(kr)=E()v(k) 的解是 E(k)=EO(k)+E((k)+E(2(k)+… v(k,r)=y0(kn)+y(()+… 零级近似解,就是自由电子的解: 0 (k,r)=12s ●r

1.定态非简并微扰 由量子力学定态非简并微扰理论可知， 定态薛定谔方程 (k,r)＝E(k) (k,r) 的解是 E(k)＝E(0) (k)＋E(1) (k)＋E(2) (k)＋… (k,r)＝(0) (k,r)+(1) (k,r)＋… 零级近似解，就是自由电子的解： (0) (k,r)＝ ik r v e • − 2 1   H

h2k 2 E0)()= co 2m 由量子力学理论可知,一级修正和二级修正分别 为 (r) E((4)=HM=(4n)V()k)d==0 公 h ≈E(2)(k)=∑ 00A0 00 K'+K E(O(k)-E((k)

由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别 为 E(1) (k)＝H’ kk ＝ (k,r)V(r)(0) (k,r)dr ＝ =0 m k E k 2 ( ) 2 2 (0)  = ( )  0   v( r )    −   =  '  (0) (0) 2 (2) ( ) ( ) ( ) E k E k E k kk

其中微扰矩阵元 Hkk=Jy 0)x(k, r)V(ry o(k,, r)dt s Va ede t-o)- d 0 由平面波的正交归一性 ∑ Ghk,k-Gr后用 Gh≠0

由平面波的正交归一性  0 1 h h G G c V V ＝  ( )  − −  r i k k G r e d h  ‘   − 0 , , h h h G G k k G ＝ V  其中微扰矩阵元 Hkk’ ＝（0〕※(k, r)V(r)(0)(k ’ ，r)dr 后用

E(2(k)= ∑ o Hkk i RE0)(k)一E0(k) E((k)∑∑ k/k-G k2kE(k)一E(k 交换求和次序。 5方 ∑ S GEO(K-E(-Gh

( ) ( ) ( )   ( ) ( )   − ' − ' 0 0 (0) ' , 2 2 k k G G k k G h h h E k E k V E k  ＝ 交换求和次序 ( ) ( ) ( ) ( )   − − = 0 0 0 2 h h G h G E k E k G V    −   =  '  (0) (0) 2 (2) ( ) ( ) ( ) E k E k E k kk

E(k)=E0(k)+E(2)(k) 390n2k2-1k-G hk2 ∑ e 2m gnI

∴ E(k)＝E(0) (k)+E(2) (k) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 h h G G h k m V m  k k G +   − −     ＝ 