§3-2一维双原子链的晶格振动 模型与色散关系 设一维晶体由N个初基原胞组成,每个初基 原胞有二个质量相等的原子,分别用A与B表 示,每个原子和它的左右近邻间距不等,弹 性系数也不等。晶格常数为a。原子A与其右 侧B原子距离为d,弹性系数为β2,与其左侧 B原子的距离为(ad)弹性系数为β1,为确定 起见,并设d<(ad),β<β2
§3-2 一维双原子链的晶格振动 一、模型与色散关系 设一维晶体由N个初基原胞组成,每个初基 原胞有二个质量相等的原子,分别用A与B表 示,每个原子和它的左右近邻间距不等,弹 性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右 侧B原子距离为d,弹性系数为β2 ,与其左侧 B原子的距离为(a-d)弹性系数为β1,为确定 起见,并设d<(a-d),β1<β2
A B i+1
■设U1(na)表示平衡位置为n的A原子 的绝对位移,U2(na)表示平衡位置 为(na+d)的B原子的绝对位移。 仍采用简谐近似和近邻作用近似,则 运动方程为
◼ 设U1(na)表示平衡位置为na的A原子 的绝对位移,U2(na)表示平衡位置 为(na+d)的B原子的绝对位移。 ◼ 仍采用简谐近似和近邻作用近似,则 运动方程为
mUI(na)=B,[U,(na)U, (na)]-B,[U, (na)U,((n-1a)] mu, na)=-B2[U2(na)-U1(na)]-B1lU2(na)-U1((n+1)a)] (3-20) 该方程组有2N个方程,应有2N个解, 此时该晶体的总自由度数也为2N
m (na)=-β2 [U1 (na)-U2 (na)]-β1 [U1 (na)-U2((n-1)a)] m (na)=-β2 [U2 (na)-U1 (na) ]-β1 [U2 (na)-U1 ((n+1)a)] (3-20) 该方程组有2N个方程,应有2N个解, 此时该晶体的总自由度数也为2N。 1 •• U 2 •• U
与一维单原子链比较,这里的近似条件相同,求解方 法类似,而前者有式(3-8)解的形式,它启发我们 作类似的试探解: U,(na)=A, eilgna-ot) U2(na) =Aeilq(na+d)-ot (3-21) 将其代入方程(3-20),并消去公因子e得到
◼ 与一维单原子链比较,这里的近似条件相同,求解方 法类似,而前者有式(3-8)解的形式,它启发我们 作类似的试探解: U1 (na)=A1 e i(qna-ωt) U2 (na)=A2 e i[q(na+d)-ωt] (3-21) 将其代入方程(3-20),并消去公因子e i(qna-ωt) 得到
mo2-(1+2)]A1+(e+2)eA2=0 (βe+2)cA1+[mo2-(β1+2)]A2=0 (3-22) 注意该代数方程组与n无关。A1、A2有非零 解的条件是其系数行列式为零 m0o2-(1+β)(β1e+12)e=0 (β1e+2)emo2-(1+β2 解得
[mω2-(β1+β2)]A1+(β1 e -iqa+β2)e iqdA2 =0 (β1 e iqa+β2)e -iqdA1+[mω2-(β1+β2)]A2 =0 (3-22) 注意:该代数方程组与n无关。 A1、 A2有非零 解的条件是其系数行列式为零: mω2 -(β1+β2 ) (β1 e -iqa+β2)e iqd =0 (β1 e iqa+β2)e -iqd mω2-(β1+β2 ) 解得
(β1+B2)/m±(12+2+ 1 P2 Cosa)1/2 (3-23) 即有两支~q的色散关系。 当取“一”号时,o记为o,称为声学支 取“十”号时,记为ω,称为光学支
ω 2 = (β1+β2)/m± (β1 2+β2 2+ 2β1 β2 cosqa)1/2 /m (3-23) 即有两支ω~q的色散关系。 当取“-”号时,ω记为ωA,称为声学支 取“+”号时,ω记为ω0,称为光学支
2(β1+β2) B m 2BI 0 πk a a a
声学支( Acousticbranch) OA2=(阝1+B2)/m-(2+B2+2P2 cosa)1/2/ 它具有q=0时,A=0的特征。 而光学支( Optical branch)格波 002=(1+P2)/m+(2+P2+21B2 cosa)12/m 它具有q=0,(≠0的特征
声学支(Acousticbranch) ωA 2=(β1+β2)/m -(β1 2+β2 2+2β1 β2 cosqa)1/2 /m 它具有q=0时,ωA =0的特征。 而光学支(Optical branch)格波 ωO 2 =(β1+β2)/m +(β1 2+β2 2+2β1 β2 cosqa)1/2 /m 它具有q=0, ω0≠0的特征
、关于声学波和光学波的讨论 (一)格波数 与一维单原子链类似,可得: π/a<q≤π/a (3-24 q=2m/Nam:整数(325) 在第一布里渊区内,可取的q点数为 2元/d 2元/N
二、关于声学波和光学波的讨论 (一)格波数 与一维单原子链类似,可得: -π/a <q≤π/a (3-24) q=2πm/Na m:整数 (3-25) 在第一布里渊区内,可取的q点数为 N Na a = 2 / 2 /