§4-6克龙尼克一潘纳 (Kronig-Penney )模型 布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性,即均为调 幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时,无 法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项,禁带宽度, 紧束缚模型中的B值。 克龙尼克一潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例
§4-6 克龙尼克－潘纳 （Kronig-Penney）模型 布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性，即均为调 幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时，无 法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项，禁带宽度， 紧束缚模型中的B值。 克龙尼克－潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例
克龙居克-潘纳模型势 在一b<<0区域,粒子的势能 v(a) 0当0<<e V当一b<物<0 在其他区域,粒子的势能为V(a}=V(如-ma),其中m为任意整数
根据 Bloch定理 y(k, x)=u(k, x)el ikx 其中 u(k, x)=u(k x+na) 代入薛定谔方程 2 2m v2 y(h, x)+[E-V(x)] y(k, x)=0
根据Bloch定理 （k ,x）＝u（k，x）e ikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 代入薛定谔方程 2m 2 2 (k,x)＋E －V(x) (k, x)＝0
经过整理得到U(x)满足的方程 d2u dxf(E-vo)-k2Ju=0 +2认=+ (1) 在势场的突变点,波函数及它的导数 ikx d+ikelkxu(x) (2) dx 必须连续,实际上要求函数u(x)和它的导数连续, 下面分不同区域求出u(x)的表达式
在势场的突变点，波函数及它的导数 经过整理得到U（x)满足的方程 ( ) ] 0 2 2 [ 2 0 2 2 2 + + E −V − k u = m dx du ik dx d u ike u(x) dx du e dx d = ikx + ikx 必须连续，实际上要求函数u(x)和它的导数连续， 下面分不同区域求出u(x)的表达式 （1） （2）
1在区域0<x≤c,势能v0=0(m=0) 2mE 设 (3) U(x)满足的方程(1) .2m d r2+2ik x 分(E-V0)-k2m=0 成为 u a2+2ik+[a2-k2a=0(4) dx 其解为u(x)=4e(ax+Be-(a+)x 其中A和B是n=0时的待定系数
1.在区域0<x<c,势能V0＝0 (n=0) 其中A0和B0是n=0时的待定系数。 设 2 2 2 = mE （3） U(x)满足的方程（1） （1） 成为 2 [ 2 2 ] 0 2 2 + + − k u = dx du ik dx d u 其解为 i k x i k x u x A e B e ( ) 0 ( ) 0 ( ) = − + − + （4） （5） ( ) ] 0 2 2 [ 2 0 2 2 2 + + E −V − k u = m dx du ik dx d u
2.-bE) 72 2m 设 B2 ( E) (6) U(x)满足的方程(1) 442+2h% 2 2m dx h(e-vo)-k2Ju=0 (1) 成为 dr2 +2ik qu u [B2+k2]u=0 (7) 其解为 u(x) (B-ik)x e +De(+ik)x (8) 其中C和D仍是n=0时的待定系数
2.-bE） 其中C0和D0仍是n=0时的待定系数。 设 2 0 2 0 2 2 2 ( ) 2 = − = V − m V E m （6） U(x)满足的方程（1） ( ) ] 0 （1） 2 2 [ 2 0 2 2 2 + + E −V − k u = m dx du ik dx d u 成为 2 [ 2 2 ] 0 2 2 + − + k u = dx du ik dx d u 其解为 （7） （8） i k x i k x u x C e D e ( ) 0 ( ) 0 ( ) − − + = +
在na<na+x<na+c的区域,与(5)式对应 u(x)=Abei(a-k)x+ Boe-i(a+k)x (5) u(x+na)=Anei(a-k)(x+na)+Bne-i(a+k(x+na) (9) 又由u(x)=u(x+na) 比较可得 Ae-l(a-k)na (10) B= Bei(atk)na
在na<na+x<na+c的区域，与（5）式对应 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i k x n a n i k x n a n u x na A e B e + = − + + − + + （9） 又由 u(x)=u(x+na) 比较可得 i k n a n A A e ( ) 0 = − − i k n a n B B e ( ) 0 = + （10） i k x i k x u x A e B e ( ) 0 ( ) 0 ( ) = − + − + （5）
同理在na-b<na+x<na的区域,与(8)式对应 u(x)=Coe(B-ik)x+Doe-(+tik) (8) 又由u(x)=u(x+na) u(x+na)=CnelB-ik)(x+na)+ Dne-(+ik)(x+na (11) 比较可得 Che-(B-ik)na (12) B+ik na
同理在na-b<na+x<na的区域，与（8）式对应 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ik x n a n ik x n a n u x na C e D e + = − + + − + + 又由 u(x)=u(x+na) 比较可得 ik n a n C C e ( ) 0 = − − ik n a n D D e ( ) 0 = + （12） （8） i k x i k x u x C e D e ( ) 0 ( ) 0 ( ) − − + = + （11）
u(x)=del(a-k)x+ Boe-i(a+k)x 5) u(x)=coe (B-ik) +De(B+ik)x (8) 在x=0处,函数u(x)和它的导数ax连续 比较可得 A0+B=C0+D0 (13) i(-k)0-(a+k)B6=(6-i)Co-(B+i)Do(14
在x=0处，函数u(x)和它的导数 连续 A0+B0=C0+D0 (13) 0 0 0 0 i( − k)A −i( + k)B = ( −ik)C −( +ik)D (14) dx du i k x i k x u x C e D e ( ) 0 ( ) 0 ( ) − − + = + i k x i k x u x A e B e ( ) 0 ( ) 0 ( ) = − + − + （8） （5） 比较可得
T 图-1龙尼-潘納型勢 在x=c(等效于x=b)处,由u的连续条件得到 Abeila-kjc Be-i(atk)c=ce(B-ik)(a-b)+De-(p+)(a-b)(15) 等效于42(ak+B21(ak=Ce(B-)+De(月+ 又 oe-(B-ik )a Doe (B+ik Abeila-kjc Boe-i(atk)c= coe -(B-ikjb Doe(ptik )b (16)
在x=c（等效于x=-b)处，由u的连续条件得到 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 i k c i k c ik a b ik a b A e B e C e D e − + − + = − − + − + − i k c i k c ik c ik c A e B e C e D e ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 等效于 − + − + = − + − + ik a C C e ( ) 1 0 又 = − − i k c i k c ik b ik b A e B e C e D e ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 − + − + = − − + + （16） （15） ( ) 1 0 ik a D D e + =