第三章晶格振动 主要目的: 搞清材料热性能有关的物理概 学习分析问题的方法 ●对象 晶体大量原子的热振动及在晶体中的传 播(格波)等
第三章 晶格振动 主要目的： 搞清材料热性能有关的物理概念， 学习分析问题的方法。 对象： 晶体大量原子的热振动及在晶体中的传 播（格波）等
方法 易维 难 三维(推广) 经典 量子(修正) 间断连续间断(依原子间距和波长的 比较而定) 利用已熟知的连续波波动方程及其解的结论
方法： 易 难 一维 三维（推广） 经典 量子（修正） 间断 连续 间断（依原子间距和波长的 比较而定） 利用已熟知的连续波波动方程及其解的结论
§3.1一维单原子晶格的振动 、物理模型 第(a-1)个原于!第n个原子 第n+1)个原子 a0100+00000 第个原子 b 000004000● P-2 图57被弹簧联系的质量为M的一维单原子链示意图 (a)在平衡位置X0=na,(b)在已位移的位置Xn=na+n (参见FD课件)
§3 .1 一维单原子晶格的振动 一、物理模型 （参见FD课件）
二.选坐标系 °选第0个原子的平衡位置为坐标原点,第n个 原子平衡时为X=na,它的位移记为Un, 位移后坐标:Xn=na+Un Un:第n个原子的绝对位移 向右为正,向左为负 n+1 Un原子间的相对位移 分析受力 近似 °近邻作用近似:仅考虑最近邻原子间的相互 作用 °简谐近似:
二．选坐标系 •选第0个原子的平衡位置为坐标原点，第n个 原子平衡时为 X0 n ＝na,它的位移记为Un， •位移后坐标： Xn=na+Un Un：第n个原子的绝对位移 向右为正，向左为负 δ ＝ Un＋1－ Un 原子间的相对位移 三．分析受力 近似： •近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间的相互 作用； •简谐近似：
●当温度不太高时,原子间的相对位移δ较 小,互作用势能在平衡点a处泰勒展开式 中可只取到二阶项。 ●记a+8=R,则 w(a+8=w(a)+ a dw dR 2!(aR2 (类似于E=—VW为单位正电荷的受力)“(3-1) 二原子间的互作用力为 d d ds d dR
当温度不太高时，原子间的相对位移δ较 小，互作用势能在平衡点a处泰勒展开式 中可只取到二阶项。 记a+δ=R ,则： 2 2 2 2! 1 ( ) ( ) a a dR d W dR dW W a W a + + = + (3-1) （类似于 E＝－▽W 为单位正电荷的受力） 二原子间的互作用力为 a a dR d W dR dW d dW f − = − = − 2 2
●在平衡位置a处,势能为极小值,其一阶 导数为0,其二阶导数大于零(并以β表示) β>0。 dew B(3-2) dR 即在近邻近似和简谐近似条件下,原子间 的相互作用力与相对位移成正比,满足胡克 定律 这时原子间的相互作用力称为弹性力或简 谐力,β称为弹性系数,或恢复力系数
在平衡位置a处，势能为极小值，其一阶 导数为0, 其二阶导数大于零(并以β表示)， β> 0 。 － ＝－ a dR d W f == 2 2 (3-2) 即在近邻近似和简谐近似条件下，原子间 的相互作用力与相对位移成正比，满足胡克 定律。 这时原子间的相互作用力称为弹性力或简 谐力，β称为弹性系数，或恢复力系数
●此时可以把一维单原子链等效为用弹性 系数为β的弹簧把质量为m的小球连结起 来的长链 列方程 °在近邻近似条件下,第n个原子分别受到 第(n-1)个原子及第(n+1)个原子的 作用力,设二力系数β相同,则可表示为 fn1=-β(Un-Un1 fn+1=-β(Un-Un+1)
此时可以把一维单原子链等效为用弹性 系数为β的弹簧把质量为m的小球连结起 来的长链。 四．列方程 • 在近邻近似条件下，第n个原子分别受到 第（n-1）个原子及第（n+1）个原子的 作用力， 设二力系数β相同，则可表示为 f n-1= －β（Un - Un-1） f n+1= －β（ Un - Un+1）
●解释:由于坐标轴向右为正方向,U 均向右为正。 考虑到方向性,以上二式均U在前。 由牛顿定律,第n个原子的运动方程为 72 o(na+Un OUn at 2 Ot 2 fm-+fn+=B(Un+Un--2Un (3-4)
解释：由于坐标轴向右为正方向，f, Un 均向右为正。 考虑到方向性，以上二式均 Un在前。 ▪由牛顿定律，第n个原子的运动方程为 ( 2 ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n f f U U U t U m t na U m = + = + − = + − + + − (3-4)
即第n个原子的加速度不仅与U有关,且 Un1Un+有关,这意味着原子运动之间的 耦合,由于对每一个原子都有一个类似的方 程,n共可取N个值,故该式为N个方程的 方程组,可有N个解,而此时晶体的总自 由度也为N
即第n个原子的加速度不仅与Un有关，且 与 Un-1 ,Un+1有关，这意味着原子运动之间的 耦合,由于对每一个原子都有一个类似的方 程，n共可取N个值，故该式为N个方程的 方程组，可有N个解，而此时晶体的总自 由度也为N
五,解方程 设入>>a,相邻原子的相位差小 可把晶体 看作是连续媒质 naxa△x△x为小量 U (t=U(na, t U( U+(t=U(na+a, t U(x+Ax, t
五．解方程 设λ>>a, 相邻原子的相位差小―― 可把晶体 看作是连续媒质. na x a Δx Δx 为小量 Un (t)=U(na,t) U(x,t) Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+Δx,t) 25