§3-3晶格振动量子化与声子 07 问题的提出 在简谐近似下,晶体中存在3Ns个 的简谐格波,晶体中任一原子的实际振动状 态由这3NS个简谐格波共同决定,那么 晶格振动的系统能量是否可表示成 3NS个独立谐振子能量之和?
§3-3 晶格振动量子化与声子 问题的提出： 在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立 的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状 态由这3NS个简谐格波共同决定，那么， 晶格振动的系统能量是否可表示成 3NS个独立谐振子能量之和？
一、晶格振动和谐振子 1.系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为na的 原子,时刻的绝对位移是q所有可能的N 个值的特解的线性叠加: U ( A e gnaea t e 2
2 2 一、晶格振动和谐振子 1．系统能量的普遍表示 一维单原子链中，平衡时距原点为na的 原子，t时刻的绝对位移是q所有可能的N 个值的特解的线性叠加： ( ) i(qna t) q Un t Aq e − ＝ ( ) iqna q ＝ Aq t e
其中A(t)= A-e-iot。按经典力学系 统的总能量为动能和势能之和 B E=7+=∑mUn+ 2 (Um-UM) 该表示式中有(Un+×Un)的交又项 存在,对建立物理模型和数学处理都带 来困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
其中Aq（t）＝Aq e -iωt 。按经典力学系 统的总能量为动能和势能之和： + + ( − ) + • n n n n E T W m Un U U 2 1 2 2 2 1 ＝ ＝ 该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项 存在，对建立物理模型和数学处理都带 来困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
2.坐标变换(变量置换)设 U,0)∑QGkm √m (3-51) 式中Qn()称为简正坐标,容易证明: qana=NS 29 ∑c(nm)=NS nn 352)
2．坐标变换（变量置换） 设 ( ) ( ) q iqna n q Q t e Nm U t 1 ＝ （3－51） 式中Qq (t)称为简正坐标，容易证明： （3－52） ( ') , i q q na q q n e N − ＝ ’ ( ') , i n n qa n n q e N − ＝ ’
证明要点: q=q时,显然成立; q≠q时,为等比级数求和,即可证。 由式(3-51),(3-52)可得 U2()∑Qn(km 17a (3—513) a,()√x∑, Lgnd (3-53) 70 ONnc >UnOegndao(3-53)
证明要点： q=q ’时，显然成立； q≠q ’时，为等比级数求和，即可证。 由式（3－51），（3－52）可得 ( ) ( ) − q iqna n Qq t e Nm U t 1 ＝ ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ − ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ （3－51’） （3－53’） （3－53）
3.系统能量的重新表示 由式(3-51)~(3-53)可得系统势能 azO q 2 l 2 Q (3-54) 2 q 4尸 式中20=方 2 不含交叉项了。(请同学们自行推导)
3．系统能量的重新表示 由式（3－51）～（3－53’）可得系统势能 q q q W q Q Q 2 2 1 ＝ 2 2 2 1 q q = q Q (3-54’ ) 式中ω2 q = 2 sin 4 2 qa m 不含交叉项了。（请同学们自行推导）
类似地,系统的动能也可写为 1 772 2 l 2 q 于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式: E 2 ∑+∑E (356) q
类似地，系统的动能也可写为 • n T mU n 2 2 ＝ 1 • q Qq 2 2 ＝ 1 于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式： • q q E＝ Qq ＋ q Qq ＝ Eq 2 2 2 2 1 (3-56)
复习: 经典谐振子能量 E=THW= mx2 kx2 所以(3-56)式相当于m=1,k=0n2的以 Q为自变量的谐振子能量。 可见 5方 由N个原子组成的一维单原子晶体有N个格 波,其晶格振动能量可看成N个谐振子的 能量之和
复习： 经典谐振子能量 E＝T＋W＝ m + kx2 , 所以（3－56）式相当于m=1, k=ωq 2的以 Qq为自变量的谐振子能量。 可见 由N个原子组成的一维单原子晶体有N个格 波，其晶格振动能量可看成N个谐振子的 能量之和。 • 2 2 x 1 2 1
二、能量量子和声子 (量子力学修正) 把上述经典谐振子的能量用量子力学 的结果来表示。量子力学告诉我们,频 率为o的谐振子,其能量为 ( 1 +n nha n=0, 1, 2.4 2 (357)
二 、能量量子和声子 （量子力学修正） 把上述经典谐振子的能量用量子力学 的结果来表示。量子力学告诉我们，频 率为的谐振子，其能量为 En + n 2 1 ＝ n=0,1,2…… （3－57）
这表明谐振子处于不连续的能量状态。 07 当n=0时,它处于基态,E0-ha,称为零 点能 相邻状态的能量差为加0,它是谐振子的能 量量子,称它为声子 正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子 样
这表明谐振子处于不连续的能量状态。 当n＝0时，它处于基态，E0 ＝ ,称为零 点能。 相邻状态的能量差为,它是谐振子的能 量量子，称它为声子， 正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子 一样。 2 1