一、晶格振动和谐振子 1.系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为na2 的原子,谢时刻的绝对位移是q所有可能的 N个值的特解的线性叠加: U ( A e gnaea t e
2 1 一、晶格振动和谐振子 1．系统能量的普遍表示 一维单原子链中，平衡时距原点为na 的原子，t时刻的绝对位移是q所有可能的 N个值的特解的线性叠加： ( ) i(qna t) q Un t Aq e − ＝ ( ) iqna q ＝ Aq t e
其中A(1)=Aem按经典力学,系 统的总能量为动能和势能之和: E=7+,∑mn+(0=-0P 该表示式中有(Un+1×Un)的交叉项存 在,对建立物理模型和数学处理都带来 困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
其中Aq（t）＝Aq e -iωt 按经典力学，系 统的总能量为动能和势能之和： + + ( − ) + • n n n n E T W m Un U U 2 1 2 2 2 1 ＝ ＝ 该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项存 在，对建立物理模型和数学处理都带来 困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
2.坐标变换(变量置换)设 √Mm4 U,0)∑QGkm (3-51) 式中Q()称为简正坐标,容易证明: ei (9-q)na ∑已 "=N q9 i(n-n")qa ∑C ENs q asson, n (3≈52)
2．坐标变换（变量置换） 设 ( ) ( ) q iqna n q Q t e Nm U t 1 ＝ （3－51） 式中Qq (t)称为简正坐标，容易证明： ( ) ＝ ’ q q n i q q n a e N , ' − ( ) ＝ ’ n n q i n n q a e N , ' − （3－52）
q1时,显然成立 q≠q时,为等比级数求和,亦可证。 由式(3-51),(3-52)可得 O U2()∑Qn(km q (3—513) 5方 ()√>,()e 2-Ig ONnc ∑U(k ,qnaa(3532)
证明要点： q=q ’时，显然成立； q≠q ’时，为等比级数求和，亦可证。 由式（3－51），（3－52）可得 ( ) ( ) − q iqna n Qq t e Nm U t 1 ＝ ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ − ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ （3－51’） （3－53’）
3.系统能量的重新表示 由式(3-51)(3-53)可得系统势能 2 l 2 2。 Q (3-54) 2 RAB q 2 ga 式中024=m22 不含交叉项了
3．系统能量的重新表示 由式（3－51）～（3－53’）可得系统势能 q q q W q Q Q 2 2 1 ＝ 2 2 2 1 q q = q Q (3-54’ ) 式中ω2 q = 2 sin 4 2 qa m 不含交叉项了
类似地,系统的动能也可写为 1 772 2 l 2 q 于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式: 2∑以+a ∑E23 3-56) q
类似地，系统的动能也可写为 • n T mU n 2 2 ＝ 1 • q Qq 2 2 ＝ 1 于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式： • q q E＝ Qq ＋ q Qq ＝ Eq 2 2 2 2 1 (3-56)
复习 经典谐振子能量 E三T+W=2mx2+2kx2 所以(3-56)式相当于m=1,k=on2的 以Q为自变量的谐振子能量。 可见。 由N个原子组成的一维晶体,其晶格振动 能量可看成N个谐振子的能量之和
复习： 经典谐振子能量 E＝T＋W＝ m + kx2 , 所以（3－56）式相当于m=1, k=ωq 2的 以Qq为自变量的谐振子能量。 可见 由N个原子组成的一维晶体，其晶格振动 能量可看成N个谐振子的能量之和。 • 2 2 x 1 2 1
二、能量量子和声子 (量子力学修正) 把上述经典谐振子的能量用量子力学 的结果来表示。量子力学告诉我们,频 率为o的谐振子,其能量为 ( 1 + na 2 n=0,1,2 (3-57)
二 、能量量子和声子 （量子力学修正） 把上述经典谐振子的能量用量子力学 的结果来表示。量子力学告诉我们，频 率为的谐振子，其能量为 En + n 2 1 ＝ n=0,1,2…… （3－57）
这表明谐振子处于不连续的能量状态。 当n=0时,它处于基态,E一1nm2称为零点能。 相邻状态的能量差为ho,它是谐振子的能量量 子,称它为声子,正如人们把电磁辐射的能量 量子称为光子一样。 3NS个格波与3N个量子谐振子一一对应,因此式 (3-57)也是一个频率为0的格波的能量。频率为 o、(q)的格波被激发的程度,用该格波所具有 的能量为ho;q)的声子数n的多少来表征
这表明谐振子处于不连续的能量状态。 当n＝0时，它处于基态，E0 ＝ ,称为零点能。 相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量 子，称它为声子，正如人们把电磁辐射的能量 量子称为光子一样。 2 1 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式 （3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。频率为 ωi (q)的格波被激发的程度，用该格波所具有 的能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征
讨论 07 1声子是玻色子 一个模式可以被多个相同的声子占据, o和q相同的声子不可区分,自旋为零。 满足玻色统计。 除碰撞外,不考虑它们之间的相互作 用,则可视为近独立子系,则玻色统计 与玻尔兹曼统计一致
1.声子是玻色子 一个模式可以被多个相同的声子占据， ω和q相同的声子不可区分，自旋为零。 满足玻色统计。 除碰撞外，不考虑它们之间的相互作 用，则可视为近独立子系，则玻色统计 与玻尔兹曼统计一致。 讨论