第九章二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程， 并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要 讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨 论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机 程序分析高阶动态电路
第九章 二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程， 并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要 讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨 论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机 程序分析高阶动态电路
§9-1RLC串联电路的零输入响应 一、RLC串联电路的微分方程 为了得到图9-1所示RLC 十R 串联电路的微分方程，先列出 KVL方程 图9-1RLC串联三阶电路 uR (t)+uL(t)+uc(t)=us(t) i0=1④=ie0）=cd t ()=Ri(t)=RC d24 dt dt dt2
§9－1 RLC串联电路的零输入响应 一 、RLC串联电路的微分方程 图9－1 RLC串联二阶电路 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C S u t u t u t u t 2 c 2 L c R c L C d d d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) t u LC t i u t L t u u t Ri t RC t u i t i t i t C 为了得到图9－1所示RLC 串联电路的微分方程，先列出 KVL方程
根据前述方程得到以下微分方程 LC d'uc+RC dt2 ducuus() (9-1) dt 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 零输入响应方程为 (9-2) dt dt 其特征方程为 LCs2+RCs+1=0 (9-3) 其特征根为 R (9-4) 2L
根据前述方程得到以下微分方程 ( ) (9 1) d d d d C S C 2 C 2 u u t t u RC t u LC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 0 (9 2) d d d d C C 2 C 2 u t u RC t u LC 其特征方程为 1 0 (9 3) 2 LCs RCs 其特征根为 (9 4) 1 2 2 2 1 2 L L C R L R s ， 零输入响应方程为
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R, L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 1. 时， S1,S2 为不相等的实根。过阻尼情况。 2. 时，S1,S2 为两个相等的实根。临界阻尼 情况。 3. <2 时，S1,2为共轭复数根。欠阻尼情况
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R， L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 C L R 2 1 2 1. 时， s ,s 为不相等的实根。过阻尼情况。 3. 时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。 C L R 2 1 2 s ,s 2. 时， 为两个相等的实根。临界阻尼 情况。 1 2 s ,s C L R 2
二、过阻尼情况 当 时，电路的固有频率S S2为两个不相同的 实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 uc(t)=K e+K,e" (9-5) 式中的两个常数K1,K2由初始条件i(0)和u.0)确定。 uc(0)=K+K2 (9-6) 对式(9-5)求导，再令=0得到 duc(t) dr =0=KS1+K2S2= 1(0) (9-7) C
二、过阻尼情况 当 时，电路的固有频率s 1，s 2为两个不相同的 实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 C L R 2 ( ) e e (9 5) 1 2 C 1 2 s t s t u t K K 式中的两个常数K1，K2由初始条件iL (0)和uc (0) 确定。 (0) (9 6) uC K1 K2 对式(9－5)求导，再令t=0得到 (9 7) (0) d d ( ) L 0 1 1 2 2 C C i K s K s t u t t
求解以上两个方程，可以得到 K S2一S1L 4(0)-0 K2- S12 由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和 电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应
求解以上两个方程，可以得到 C i s u s s K C i s u s s K (0) (0) 1 (0) (0) 1 L 1 C 1 2 2 L 2 C 2 1 1 － ＝ － ＝ 由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和 电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应
例9-1电路如图9-1所示，已知R=3①，L=0.5H,C=0.25F, uc(0)=2V,i1(0)=1A,求电容电压和电感电流的零输 入响应。 十 图9-1RLC串联二阶电路 解：将R,L,C的量值代入式(9-4)计算出固有频率 R 2 =-3±V32-8=-3±1= 2L 2元) 4
例9-1 电路如图9-1所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC (0)=2V, iL (0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。 4 2 3 3 8 3 1 1 2 2 2 2 1 2 L L C R L R s ， 解：将R，L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率 图9－1 RLC串联二阶电路
将固有频率s,=-2和s24代入式(9-5)得到 uc (t)=K e2+Ke 4 (t≥0) 利用电容电压的初始值u(0)=2V和电感电流的初始值 i(0)=1A得到以下两个方程： uc(O)=K1+K2=2 K=6 duc(t) dt 10=-2K,-4K2=4( =4 C K=-4 最后得到电容电压的零输入响应为 uc(t)=(6e21-4e4)V (t≥0)
将固有频率s 1 =-2和s 2 =-4代入式（9－5）得到 ( ) e e ( 0) 4 2 2 C 1 u t K K t t t 利用电容电压的初始值uC (0)=2V和电感电流的初始值 iL (0)=1A得到以下两个方程： 4 (0) 2 4 d d ( ) (0) 2 L 0 1 2 C C 1 2 C i K K t u t u K K t K1 =6 K2 =-4 ( ) (6e 4e )V ( 0) 2 4 C u t t t t 最后得到电容电压的零输入响应为
利用KCL和电容的VC℉方程得到电感电流的零输入响 应 10）=ie0=Cde=(-30+4e")A (t≥0) dt 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电 路各元件的能量交换过程。 uc/V iL/A 2 1 0 0 (a) (b)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应 ( 3e 4e )A ( 0) d d ( ) ( ) C 2 4 L C t t u i t i t C t t 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电 路各元件的能量交换过程
三、临界情况 当R=2月 时，电路的固有频率S2为两个相同的实 数s=S,=S。齐次微分方程的解答具有下面的形式 uc(t)=K,e”+K,tei (9-8) 式中的两个常数K1,K,由初始条件(0)和uc(0)确定。 令式(9-5)中的=0得到 uc(0)=K1 (9-9)
三、临界情况 当 时，电路的固有频率s 1 , s 2为两个相同的实 数s 1 =s 2 =s。齐次微分方程的解答具有下面的形式 C L R 2 ( ) e e (9 8) C 1 2 st st u t K K t 式中的两个常数K1，K2由初始条件iL (0)和uC (0) 确定。 令式(9-5)中的t=0得到 (0) (9 9) uC K1