第二章控制系统的数学模型 §1控制系统的运动方程式 列写系统运动方程的步骤 ⊙确定系统的输入量和输出量 ⊙根据系统所遵循的基本定律,依次列写 出各元件的运动方程 ⊙消中间变量,得到只含输入、输出量的 标准形式
8确定系统的输入量和输出量 8根据系统所遵循的基本定律，依次列写 出各元件的运动方程 8消中间变量，得到只含输入、输出量的 标准形式 列写系统运动方程的步骤
例1设有由电感L,电容C和电阻R组 成的电路,如图所示.试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电压U为输 入变量的运动方程。 R u2 U1 C 1
入变量的运动方程。 压U 为输出变量和以输入电 压U 为输 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 2 1 L i U2 U1 R C
解:根据基尔霍夫定律有 U =U+U +U R C Ri R R 2 ∫idt (2) U d Ri+L-e+U (3) dt 2 对(2)式求导得2=i即i=C2 代入(3)并整理得 d LC +rc-s+U=U dt dt
1 U 2 U dt 2 du RC 2 dt 2 U 2 d LC 代入（3）并整理得 i 即 i CU C 。 1 对（2）式求导得 U （3） 2 U dt di Ri L 1 U idt （2） C 1 C U 2 U dt di L L U Ri R U （1） C U L U R U 1 U 解：根据基尔霍夫定律有 2 2 U2 U1 R L i C
例2,如图所示为一弹簧阻尼系统,图中质量为m的物体受到外力 作用产生位移Y,求该系统的运动方程 解: 输入量:外力F输出量:位移y 根据牛顿定律 ma2F=F-F-F F=K f dt K,f·a dy m 人F y dt dt d 0 记P dt 则有: (f+fP+K)y=F
解： 作用产生位移Y，求该系统的运动方程 例2， 如图所示为一弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力 y m m 0 dt dy f fP K）y F （ 2 mP 则有： 2 dt 2 2 d P dt d 记 P Ky F dt dy f 2 dt y 2 d m dt dy f f Ky F s F f F s ma F F F 根据牛顿定律 输入量：外力F 输出量：位移y K y
例3,已知二串联液体储罐,试建立其数学模型 解: 输出量h2输入量Q 1n Q.-Q,= In 1 dt Q1-(Q h +Q 2 dt Q Q1=,h 液位h,的变化引起的流量变化(单位时间) 阀2开度改变引起的流出量的变化(单位时间) C,C一一储罐1,2的容量系数 R,R一一阀1,阀2的阻力系数
解： 例3， 已知二串联液体储罐，试建立其数学模型 — —阀1，阀2的阻力系 数 2 ，R 1 R — —储罐1，2的容量系 数 2 ，C 1 C — —阀2开度改变引起的 流出量的变化（单位时 间） f Q 的变化引起的流量变化 （单位时间） 2 — —液位h h Q 1 h 1 k 1 1 Q 2 h 2 k 1 h Q dt 2 dh 2 ） C f Q h -（Q 1 Q dt 1 dh 1 C 1 Q in Q f ，Q IN ，输入量Q 2 输出量h
消去中间变量可得输入参数Q:(调节参数)和Q。(干扰作用) in 输出参数h。之间的关系式: dh dQ 1122+(C,R,+C2)2+h2=R2Q2一R2Q一CRRf 112dt 12+(T1+xh 12 dt +h2=121m-28-T2
dt f dQ 2 R 1 T f Q 2 R in Q 2 R 2 h dt 2 dh ）2 T 1 （T 2 dt 2 h 2 d 2 T 1 T dt f dQ 2 R 1 R 1 - C f Q 2 - R in Q 2 R 2 h dt 2 dh ）2 R 2 C 1 R 1 （C 2 dt 2 h 2 d 2 R 2 C 1 R 1 C 之间的关系式： 2 输出参数h （干扰作用）与 f （调节参数）和Q in 消去中间变量可得输入 参数Q
例4设有带载直流电动机系统,如图所示,试列写以电枢电压Ua 为输入变量和分别以电动机输出轴角速度O及角位移6为输出量时 的系统运动方程 解 MIF 根据基尔霍夫定律,直流电动机电枢回路的 )2〉 MI 运动方程为: Q di L+Ri+E=U dt 而电动机的反电动势与成正比,即E=Cea 当电动机空载时,M1=0,JO=M-fD dt 电枢电流i在恒定磁场中产生的电磁力矩为M=Ci 消去中间变量得:
4 Ua 解： 的系统运动方程 为输入变量和分别以电 动机输出轴角速度 及角位移 为输出量时 例 设有带载直流电动机系 统，如图所示，试列写 以电枢电压 消去中间变量得： 电枢电流 在恒定磁场中产生的电 磁力矩为 当电动机空载时， ， 而电动机的反电动势与 成正比，即 运动方程为： 根据基尔霍夫定律，直 流电动机电枢回路的 i M C i M 0 E Ce R i E U M L a a M f dt d J dt di L a
d y d a+(,+L )o+(rR,+CC)o=CU 当电动机输出轴带负载时,M≠0,则由牛顿定律有 J-=M-fo-M dt +(JR+几)do J 0 dt +r,+C,C)0=C,U-L dMRmv dt 若以仍为输出量,则根据关系O=可得相应运动方程
若以 为输出量，则根据关系 可得相应运动方程。 （ ） （ ） 当电动机输出轴带负载时， ，则由牛顿定律有 （ ） （ ） dt d R M dt dM fR C C C U L dt d JR fL dt d JL dt a L L a a a a M e M a a 2 2 L L 2 a a a M e M a 2 a M -f - M dt d J M 0 fR C C C U dt d JR fL d JL
§2非啦运动方程的啦化 §将非线性微分方程在一定的条件下转化 为线性微分方程的方法,称非线性微分」 方程的线性化。 §小偏差线性化:非线性微分方程能进行 线性化的一个基本假设上是变量偏离其 预期工作点的偏差甚小,这种线性化通 常称为小偏差线性化
§ 将非线性微分方程在一定的条件下转化 为线性微分方程的方法，称非线性微分 方程的线性化。 §小偏差线性化：非线性微分方程能进行 线性化的一个基本假设上是变量偏离其 预期工作点的偏差甚小，这种线性化通 常称为小偏差线性化
例1,将具有两个自变量X和的非线性函数Z=F(X,Y) 在预期工作点(X0,Y)处展开,进行线性化 在(X0·0)邻域有 CX, D)=F(X 0. YAr+ OF Y-Y:Ar'+ X=X △X△y+ aXOn dF2x=(△y 忽略△X,△Y的二阶及二阶以上高阶项有 F(X,Y=F(Yo Yo+ax X=Xo △X千 aF CRXEXAY △F(H,B=(OF arFr Ar+coF x=X△Y
在预期工作点（ ， ）处展开，进行线性化 例 ，将具有两个自变量 和 的非线性函数 （ ， ） 0 0 1 X Y X Y Z F X Y Y Y Y X X Y F X Y Y X X X F F X Y Y Y Y X X Y F X Y Y X X X F F X Y F X Y X Y Y Y Y X X Y F X Y Y Y X X X Y F Y Y Y Y F X X X X F Z F X Y F X Y X Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 [ 2 1 0 | 0 | 0 0 0 0 （ ， ）（ ） （ ） （ ） （ ， ） （ ， ）（ ） 忽略 ， 的二阶及二阶以上高阶 项有 （ ） （ ） （ ） ！ （ ， ） （ ， ） 在（ ， ）邻域有
