§83李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性李雅普诺夫提出了两 种方法 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方 程的显式解来对稳定性近行分析,是一个间接的 方法。 第二方法不是求解微分方程组,而是通过构 造所谓李雅普诺夫函数(标量函数)来直接判断 运动的稳定性,因此又称为直接法。 李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法,是许多系统控制律设计的 基本工具。 PDF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprint,com,cn
§8-3 李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法: 第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方 程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的 方法。 第二方法不是求解微分方程组，而是通过构 造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断 运动的稳定性，因此又称为直接法。 李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn
例:考虑如下系统关于零解的稳定性: 首先构造一个正定函数 Vx=x 显然,v(x)>0Vx≠0,且v(x)=0分x=0 现在,我们考虑v沿上述微分方程的解对时间t的 导数,有 =2xx=-10x2<0Vx≠0 由于w(x)正定,讠负定,意味着vx)收敛,从而x 必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论,却并 未求解微分方程。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x x & = -5 首先构造一个正定函数： 2 v( ) x x = 显然，v(x ) > 0"x ¹ 0,且v(x x ) = 0 0 Û = 。 现在，我们考虑 沿上述微分方程的解对时间 的 导数，有 v t 2 v& = 2xx& = -10x x < 0 0 " ¹ 由于v(x)正定， 负定，意味着v(x)收敛，从而x 必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论，却并 未求解微分方程。 v& PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
例:考虑小阻尼线性振动系统: →阻尼比;=05 试研究其平衡状态x=0,x2=0的稳定性。 类似于前例,取一个函数,通常称为v函 v(x1x 易于验证,这是一个正定函数。而方程 3x2+2x2+2=C,当0<C<∞时表示一个椭圆族。 般说来,微分方程的解不能求得,故v的显式不 能得到。但却可求出ν沿微分方程解的导数: x2=(6x+2x2x2+(x+4x2)(x1-x2)=-2(x2+ PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 wwvyfineprint,com,cn
例：考虑小阻尼线性振动系统： 1 2 2 1 2 0.5 x x x x x V ì = í Þ = î = - - & & 阻尼比 1 2 试研究其平衡状态x x = = 0, 0的稳定性。 类似于前例，取一个函数，通常称为v函数： 2 2 1 2 1 1 2 2 v(x ,x ) = 3x + + 2 2 x x x 易于验证，这是一个正定函数。而方程 2 2 1 1 2 2 3x + 2x x + 2x = C C , 0 当 < < ¥时表示一个椭圆族。 1 x 2 x 一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不 能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数： 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (6 2 ) (2 4 )( ) 2( ) ¶ ¶ = + = + + + - - = - + ¶ ¶ & & & v v v x x x x x x x x x x x x x PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn ÿÿÿ
当x1和x不同时为零时,即在相 平面上,除原点x1=x2=0外,总 有dvlr<0,这说明v总是沿着微 x 分方程的运动而减小的,也就是 说,运动轨线从=C的椭圆的外 面穿过椭圆走向其内部。因此, 系统关于零解必是渐近稳定的。 以上例子说明,我们借助于一个特殊的函数, 不求解微分方程,就可以按v及dyd符号性质来判 断零解的稳定性,而我们知道,在大多数情况下,求 解微分方程是做不到的。 PDF文件使用"pdfFactory”试用版本创建vv,fineprint.com,cn
1 x 2 x 当x1和x2不同时为零时，即在相 平面上，除原点x1 =x2=0外，总 有dv/dt<0，这说明v总是沿着微 分方程的运动而减小的，也就是 说，运动轨线从v=C的椭圆的外 面穿过椭圆走向其内部。因此， 系统关于零解必是渐近稳定的。 以上例子说明，我们借助于一个特殊的v函数， 不求解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判 断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求 解微分方程是做不到的。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn ÿÿ
因此,利用 Lyapunov函数判断零解的稳定性 包含如下要点 1)构造一个函数vx2…x它具有一定的符号特性, 例如证明渐近稳定时要求(x1x=CC>0且当C 趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩 的超曲面族; 2)v(x1…x)沿着解x=x(0)…x=x(1)的时间导数 dhl=(x1,xn)也具有一定的符号性质,例如负 定或半负定。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性 包含如下要点： 1) 构造一个函数v(x1 ,…,xn ),它具有一定的符号特性， 例如证明渐近稳定时要求v(x1 ,…,xn )=C(C>0),且当C 趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩 的超曲面族； 2) v(x1 ,…,xn )沿着解x1 =x1 (t),…,xn =xn (t)的时间导数 dv/dt= w(x1 ,…,xn )也具有一定的符号性质，例如负 定或半负定。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
正定函数wx)=C1>0的等值线示意图:这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。C1<C2<C3<C<C5<C6<C7 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 wwvyfineprint,com,cn
正定函数 v(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。 C1＜C234 ＜C ＜C ＜C5＜ ＜C C 6 7 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn ÿÿÿ
符号函数的定义 我们首先考察定义在|0,并假定v(x,t)为单值连续的, 且当x=0时,v(0,t)=0。例如 v(x,1)=,(xi+x2)210>0 1+t 就是这样的函数 定义7-12 0)若不显含只是的函数,9时有)00 且v(x)=0有非零解≠0,则称(x)为常正(常负)函数 例:(x)=x2+x2-22是一个常正函数 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v, fineprint,com,cn
一、符号函数的定义 0 , ( , ), 0 ( , ) (0, ) 0 u = 我们首先考察定义在 上的时变量实值 函数 这里， ，并假定 为单值连续的， 且当 =0时， 。例如 x t t x t v x t x v t 1 ) 0( 0), ) 0 ( ) ( v t x x v x v x x v x + v x t x x t t t 就是这样的函数。 2 2 1 2 1 2 例：v(x ) 2 = x + - x x x 是一个常正函数。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn //
若当00<0,且vx)=0仅有零 解x=0,则称v(x)正定(负定)函数。 常正(负)函数又称为半正(负)定函数。常正 常负函数统称常号函数。 例:v(x)=x2+x2是一个正定函数 2)若(x)在120<9上恒有(x)≥(0) 则称yx)为常正(常负)函数。 例:v(x,) +x21216050就是一个常正函数 1+ 注意到在这个例子中lm,yv1)=0 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
) 0( 0) ) 0 ) x v x v x x v x 若当0 + 例： 就是一个常正函数。 注意到在这个例子中limt ®¥ v(x t, ) 0 = 。 常正（负）函数又称为半正（负）定函 负 数统 数 号 数 。 称 常正、 常 函 常函。 则称 为 v(x t, ) ( 常正 常负）函数。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
若当0.正定,只要 取(x)=x2+x2就可看出。 正定、负定函数统称定号函数。 (3)不是常号和定号函数的函数统称变号函数。 例:v(x)=x1x2是变号函数。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) x w x t t v x t w x v x t + = + 正定，只要 取 就可看出。 例： 正定、负定函数统称定 函号 数。 （3）不是常号 号 和定 函数的函 函 数统称变号 数。 1 2 例：v ( ) x = x x 是变号函数。 0 若对于t ³ t ，成立v(x ,t) £ -w(x )，则称v(x t, ) 为负定函数。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
例:变号v(x1,x2)=x2 正定和常正函数的例子: 例:n(t)=(a+e)x2+x2)(a>0)是1≥1>0上的正定 函数。 例:v(x1)=e(x2+x2)是≥t>0上的常正(半正定) 函数。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 wwvyfineprint,com,cn
ε 例： 变号 v(x1 , x2 ) = x1 x2 x1 x2 + + － － 2 2 1 2 0 ( , ) ( )( ) 0) 0 t v x t a e x x a t t - = + + （ 是 > ³ > 上的 。 ： 正定 函数 例 2 2 1 2 0 ( , ) ( ) 0 t v x t e x x t t - ： = + 是 ³ > 上的常正（半正定） 函数。 例 正定和常正函数的例子： PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn ÿÿÿ