第三章 系統的数学描述 木*2
第三章 系统的数学描述
主要内容 3.1引言 3.2输入输出描迷 3.3状态空间描述 3.4输入输出描述和状态空间描迷的关系 3.5组合系统的数学描述 3.6离散时间系统 木*2
主要内容 3.1 引言 3.2 输入输出描述 3.3 状态空间描述 3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系 3.5 组合系统的数学描述 3.6 离散时间系统
3.1引言 线性系统理论研究对象是由物理系统中抽象 出的线性模型系统。通常可用框图来形象地表示 一个系统 它既有输入信号(例如电压),也有输出信号 (例如位移)。 从这个框图已经可以看出:一个系统在激励 下的响应事实上完全是由系統自身的结构确定 的。因此,对系统的描述就成为一纷控制系统索 析和综合的出发点
线性系统理论研究对象是由物理系统中抽象 出的线性模型系统。通常可用框图来形象地表示 一个系统： 它既有输入信号（例如电压），也有输出信号 （例如位移）。 从这个框图已经可以看出：一个系统在激励 下的响应事实上完全是由系统自身的结构确定 的。因此，对系统的描述就成为一切控制系统分 析和综合的出发点。 3.1 引言
3.1引言 在工业控制系統中。对系统的数学描迷常用的方 法有两种:系統的外部描述(输入/输出描述)和系 统的内部表示(状态空间描述)。 输入/输出描述的是系統的外部特性。将系統当成一 个内部结构和信息无法知道的“黑箱”,避开表征系統 内部变量的动态过程。直接反映系統外部变量组间动 态因果关系。在工程上简便易行,得到广泛应用 状态空间描述包括了系統的内外部特性。是一种全面 的描述方法。由于获得了系统的全面信息,故可设计 出性能良好的系统。但在许多情况下,得到系统的状 态空间描述是困难的
在工业控制系统中，对系统的数学描述常用的方 法有两种：系统的外部描述（输入/输出描述）和 系 统的内部表示（状态空间描述）。 ¾ 输入/输出描述的是系统的外部特性。将系统当成一 个内部结构和信息无法知道的 “黑箱 ”，避开表征系统 内部变量的动态过程，直接反映系统外部变量组间动 态因果关系。在工程上简便易行，得到广泛应用； ¾ 状态空间描述包括了系统的内外部特性，是一种全面 的描述方法。由于获得了系统的全面信息，故可设计 出性能良好的系统。但在许多情况下，得到系统的状 态空间描述是困难的。 3.1 引言
3.2输入输出描述 输入/输出描述 系統的输入/输出描述是建立在这样的基础上的 我们不知道系統的内部结构信息。唯一可测量的量是 系统的输入和输出信号。此时我们可以将系统视为 个“黑箱” 我们能做的,只是通过向该黑箱施加各种类型的输 入并测量与之相应的输出,然后从这些输入/输出对中 得出系统的重要特性。 木*2
3.2 输入输出描述 一、输入 / 输出描述 系统的输入/输出描述是建立在这样的基础上的： 我们不知道系统的内部结构信息，唯一可测量的量是 系统的输入和输出信号。此时我们可以将系统视为一 个“黑箱”： 我们能做的，只是通过向该黑箱施加各种类型的输 入并测量与之相应的输出，然后从这些输入/输出对中 得出系统的重要特性
3.2输入翰出描述 定义3.1:如果系统仅有一个输入端和输出端, 称为单输入-单输出系统。如果系统有多个输入 端或多个输出端,称为多输入-多输出系统。 lu,u2JER y=[yy2…ya∈R 当且仅当D=q=1时,系统为单变量系绝 否则称为多变量系统
3.2 输入输出描述 • 定义3.1:如果系统仅有一个输入端和输出端， 称为单输入-单输出系统。如果系统有多个输入 端或多个输出端，称为多输入-多输出系统。 当且仅当p = q = 1时，系统为单变量系统。 否则称为多变量系统。 p u = [u1u2 ...up ]∈ R q y = [ y1 y2 ...yq ]∈ R
3.2输入输出描述 在经典控制论中主要讨论的是单变量系统。而且,直 观地看,多变量系统的分析和设计疝较单变量系統來 得困难。但事实上,无论是多变量系统还是单变量系 统,其分析和控制律设讣的复杂程度主要取决于我们 对该系統的了解。例如,即使是如下的单变量系统 tas tata 若对其参数一无所知,它的控制律设计就会复杂得 多,而稳定性的分析事实上是死法选行的。 木*2
3.2 输入输出描述 在经典控制论中主要讨论的是单变量系统。而且，直 观地看，多变量系统的分析和设计应较单变量系统来 得困难。但事实上，无论是多变量系统还是单变量系 统，其分析和控制律设计的复杂程度主要取决于我们 对该系统的了解。例如，即使是如下的单变量系统： 若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复杂得 多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。 [ ] 2 3 2 1 3 u s a s a s a k y p + + + =
3.2输入输出描述 二、初始松弛的概念 若系统在t时刻的输出仅取央于该时刻所加的输 入,即该系統为瞬时系统( Instantaneous System)或 称为无记忆系统( Zero-Memory System)。如仅有电阻 构成的网络属于此类系统,大多数系统是有记忆的。 在推号输入一输出描述时。在加输入之前必须假设 系統是松弛的或静止的,而且输出仅仅唯一地由其后的 输入所引起。将能量概念应用于系统,便可认为,若在 时刻t1系統不存储能量,则称系统在时刻t是松弛的。 当t 时,定义: 木*2
3.2 输入输出描述 二、初始松弛的概念 若系统在t1时刻的输出仅取决于该时刻所加的输 入，即该系统为瞬时系统（Instantaneous System）或 称为无记忆系统（Zero-Memory System）。如仅有电阻 构成的网络属于此类系统，大多数系统是有记忆的。 在推导输入－输出描述时，在加输入之前必须假设 系统是松弛的或静止的，而且输出仅仅唯一地由其后的 输入所引起。将能量概念应用于系统，便可认为，若在 时刻t1系统不存储能量，则称系统在时刻t1是松弛的。 当t1＝－∞时，定义：
3.2输入输出描述 定义3-1:称-0时松弛或静止的系统为初始松弛系 统或简称为松弛系统。 在松弛系統假定前提下,自然有; y=Hu (3-3) 其中,H是某一个算子或函数。它按照系统的输 入u噍一地规定系统的输出y。式3-3也可以表示为: y(t)=Hu(-∞,+∞)(3-3-1) 木*
3.2 输入输出描述 定义3－1：称-∞时松弛或静止的系统为初始松弛系 统或简称为松弛系统。 在松弛系统假定前提下，自然有： y＝Hu （3-3） 其中，H是某一个算子或函数，它按照系统的输 入u唯一地规定系统的输出y。式3－3也可以表示为： y(t)=Hu(-∞,+∞) (3-3－1)
3.2输入输出描述 线性性质 1、定义3-2:一个松弛系统,当且仅当对于任何输入 u1和以及任何实数a和a,均有 H(a1u1+a2u2)=a1Hu1+a2H2(3-4) 时,称其为线性的,否则称松弛系统为非线性的。工程 文獻中,通常写成: H(u1+u2)=Hu1+H2(可加性)(3-5) H(au=ahu (齐次性)(3-6) ★ 若一松弛系统同时具有上述两各特性,称满足鱼 加性原理
3.2 输入输出描述 三、线性性质 1、定义3－2：一个松弛系统，当且仅当对于任何输入 u1和u2以及任何实数α1和α2均有 H(α1u1+α2u2) =α1 Hu1+α2Hu2 （3－4） 时，称其为线性的，否则称松弛系统为非线性的。工程 文献中，通常写成： H(u1+u2) =Hu1+Hu2 （可加性） （3－5） H(αu1) =αHu1 （齐次性） （3－6） 若一松弛系统同时具有上述两各特性，称其满足叠 加性原理