§8-3李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性李雅普诺夫提出了两 种方法 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方 程的显式解来对稳定性近行分析,是一个间接的 方法 第二方法不是求解微分方程组,而是通过构 造所谓李雅普诺夫函数(标量函数)来直接判断 运动的稳定性,因此又称为直接法 李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法,是许多系统控制律设计的 基本工具
§8-3 李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法: 第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方 程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的 方法。 第二方法不是求解微分方程组，而是通过构 造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断 运动的稳定性，因此又称为直接法。 李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具
例:考虑如下系统关于零解的稳定性 首先构造一个正定函数: V(X=X 显然,v(x)>0Vx≠0,且v(x)=0台x=0。 现在,我们考虑ν沿上述微分方程的解对时间t的 导数,有 v=2xx=-10x2<0Vx≠0 由于v(x)正定,v负定,意味着y(x)收敛,从而x 必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论,却并 未求解微分方程
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x x = −5 首先构造一个正定函数： 2 v x x ( ) = 显然，v x x v x x ( ) 0 0, ( ) 0 0 = = 且 。 现在，我们考虑 沿上述微分方程的解对时间 的 导数，有 v t 2 v xx x x = = − 2 10 0 0 由于v(x)正定， 负定，意味着v(x)收敛，从而x 必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论，却并 未求解微分方程。v
例:考虑小阻尼线性振动系统: →阻尼比=0.5 x2 试研究其平衡状态x=0,x2=0的稳定性。 类似于前例,取一个函数,通常称为v函数 v(x12x2)=3x1+2xx2+2x2 易于验证,这是一个正定函数。而方程 3x2+2x2+2x2=C,当0<C<时表示一个椭圆族 般说来,微分方程的解不能求得,故v的显式不 能得到。但却可求出ν沿微分方程解的导数 +(2x1+4x2 )( )=-2(x1+x2) OX
例：考虑小阻尼线性振动系统： 1 2 2 1 2 0.5 x x x x x = = = − − 阻尼比 1 2 试研究其平衡状态x x = = 0, 0的稳定性。 类似于前例，取一个函数，通常称为v函数： 2 2 1 2 1 1 2 2 v x x x x x x ( , ) 3 2 2 = + + 易于验证，这是一个正定函数。而方程 2 2 1 1 2 2 3 2 2 , 0 x x x x C C + + = 当 时表示一个椭圆族。 1 x 2 x 一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不 能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数： 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (6 2 ) (2 4 )( ) 2( ) = + = + + + − − = − + v v v x x x x x x x x x x x x x
当x1和x2不同时为零时,即在相 平面上,除原点x1=x2=0外,总有 dv/dt<0,这说明v总是沿着微分 方程的运动而减小的,也航是说, 运动轨线从vC的椭圆的外面穿 过椭圆走向其内部。因此,系统 关于零解必是渐近稳定的 以上例子说明,我们借助于一个特殊的v函数, 不求解微分方程,就可以按v及d/ot的符号性质来判 断零解的稳定性,而我们知道,在大多数情况下,求 解微分方程是做不到的
1 x 2 x 当x1和x2不同时为零时，即在相 平面上，除原点x1=x2=0外，总有 dv/dt<0，这说明v总是沿着微分 方程的运动而减小的，也就是说， 运动轨线从v=C的椭圆的外面穿 过椭圆走向其内部。因此，系统 关于零解必是渐近稳定的。 以上例子说明，我们借助于一个特殊的v函数， 不求解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判 断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求 解微分方程是做不到的
因此,利用 Lyapunov函数判断零解的稳定性 包含如下要点: 1)构造一个函数vx1…xn)它具有一定的符号特性, 例如证明渐近稳定时要求v(x1xn)=CC>0),且当C 趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩 的超曲面族; 2)v(x1…,xn沿着解x1=x1(t)…,xn=xn(t)的时间导数d/dt= W(x1…,x)也具有一定的符号性质,例如负定或半 负定
因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性 包含如下要点： 1) 构造一个函数v(x1 ,…,xn ),它具有一定的符号特性， 例如证明渐近稳定时要求v(x1 ,…,xn )=C(C>0),且当C 趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩 的超曲面族； 2) v(x1 ,…,xn )沿着解x1=x1 (t),…,xn =xn (t)的时间导数dv/dt= w(x1 ,…,xn )也具有一定的符号性质，例如负定或半 负定
正定函数v刈)=C1>0的等值线示意图:这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。C≤C2<C<C<C<C<C2
正定函数v(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。 C C C C C C C 1 2 3 4 5 6 7 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
爸号函数的定义 我们首先考察定义在0,并假定v(x,t)为单值连续的, 且当x=0时,v(0,t)=0例如 v(x,t)=,,(x1+x2),t≥t0>0 1+t 就是这样的函数 定义7-12 若v不显含t,只是x的函数,当<9时有vx)≥0(≤0 且v(x)=0有非零解x≠0,则称v(x)为常正(常负)函数。 例:v(x)=x12+x2-2x2是一个常正函数
一、符号函数的定义 0 , ( , ), 0 ( , ) (0, ) 0 = 我们首先考察定义在 上的时变量实值 函数 这里， ，并假定 为单值连续的， 且当 =0时， 。例如 x t t x t v x t x v t 1 ) 0( 0), ) 0 ( ) ( v t x x v x v x x v x = （）若 不显含 ,只是 的函数，当 时有（ 且（ 有非零解 0,则称 为常正 常负）函数。 定义7 - 12 2 2 2 1 2 0 1 ( , ) ( ), 0 1 = + + v x t x x t t t 就是这样的函数。 2 2 1 2 1 2 例：v x x x x x ( ) 2 = + − 是一个常正函数
若当00(0就是一个常正函数 注意到在这个例子中lm,v(x,t)=0
) 0( 0) ) 0 ) x v x v x x v x 若当0< = 时有（ ，且（ 仅有零 解 =0,则称（ 为正定（负定）函数。 2 2 1 2 例：v x x x ( ) = + 是一个正定函数。 0 （2 ( , ) ( , ) 0( 0), ）若v x t t t x v x t 在 , 上恒有 2 2 2 1 2 0 1 ( , ) ( ), 0 1 v x t x x t t t = + + 例： 就是一个常正函数。 注意到在这个例子中lim ( , ) 0 t → v x t = 。 常正（负）函数又称为半正（负）定函 负 数统 数 号 数 。 称 常正、 常 函 常 函 。 则称v x t ( , ) ( 为常正 常负）函数
若当|0,正定,只要 1+t 取(x)=x2+x2就可看出。 正定、负定函数统称定号函数。 (3)不是常号和定号函数的函数统称变号函数。 例:v(x)=x1x2是变号函数
0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) x w x t t v x t w x v x t 若当 存在正定函数 ，使得对于 成立 ，则称 为正定函数； 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 1 ( , ) (1 )( ), 0, 1 ( ) v x t x x t t t w x x x = + + + = + 正定，只要 取 就可看出。 例： 正定、负定函数统称定号函数。 （3）不是常号和定号函数的函数统称变号函数。 1 2 例：v x x x ( ) = 是变号函数。 0 若对于t t v x t w x v x t − ，成立 ( , ) ( ) ( , ) ，则称 为负定函数
例:变号v(x1,x2)=x1x2 正定和常正函数的例子: 例:w(x,)=(a+e)x12+x2)(a>0)是t≥t0>0上的正定 函数 例:v(x,t)=e(x2+x2)是t≥to>0上的常正(半正定) 函数
ε 例 ： 变号 v (x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 x 1 x 2 + + － － 2 2 1 2 0 ( , ) ( )( ) 0) 0 t v x t a e x x a t t − = + + （ 是 上 的 。： 正 定 函 数例 2 2 1 2 0 ( , ) ( ) 0 t v x t e x x t t − ： = + 是 上 的 常 正（半 正 定） 函数。 例 正定和常正函数的例子：