第三章线性系统的时域分析 §1典型输入信号 一阶跃函数 R t> r(t) r(t)= 0t<0 R R=1时,称为单位阶跃函数,记为(t)。R(S)=1/S t 二.斜坡函数(匀速函数) r(t) Rt r(t)= Rtt≥0 0t<0 R=1时,称为单位斜坡函数。R(S)=2 三抛物线函数(匀加速函数) r() r(t)tt≥0 0t<0 0 t R=1/2时,称为单位抛物线函数。R(S)= S 3
0 t 0 t 0 ( ) R r t t r(t) R t r(t) Rt r(t) t 0 21 ( ) 0 t 0 t 0 ( ) S R S Rt r t 3 2 1 ( ) 0 t 0 t 0 ( ) S R S Rt r t 一．阶跃函数 二．斜坡函数（匀速函数） 三．抛物线函数（匀加速函数） R=1时，称为单位阶跃函数，记为l(t) 。R(S)=1/S。 R=1时，称为单位斜坡函数。 R=1/2时，称为单位抛物线函数
四,脉冲函数 0th r(t)=A 1/h h ast< h t 当h→∞时,则称为单位脉冲函数。个r(t) δ(t) 0t≠ 00 R(s)=1 t 五,正弦函数 r(t) r(t)=Asin( ot-) () AO ot 0 s+O
t h 0 t 0 t h ( ) h r t A 及 t r(t) R(s) 10 t 0 t 0 (t) h 0 s A R(S) r(t) Asin( t - ) 2 2 h 1/h t r(t) r(t) t 四．脉冲函数 五．正弦函数 当 时，则称为单位脉冲函数
02.一阶系统的时域分析 一阶系统:以一阶微分方程作为运动方程的控 制系统。 标准形式dc)c) 1 TS+1 C(s) 传递函数(s)== R() Ts+1 单位阶跃响应 r(t)=1(t)R(s)= C(s)=(s)R(s)= 11T Ts+1 ss Ts+1 c(t)=1-e T
1 1 TS 1 1 ( ) (s) ( ) ( ) ( ) ( ) R s Ts C s c t r t dt dc t T 一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控 制系统。 T t c t e Ts T Ts s s C s s R s s r t t ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1( ) R(s) 一 ．单位阶跃响应 标准形式 传递函数
说明 1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值 t=T时2c(t)=1-e-1=0.632=632 t=37时,c(t)=0.95=95% 斜率1/T t=4T时,c(t)=0.98=98% 可得调整时间 3TA=0.05 0.632 A 4T△=0.02 2相应曲线的初始斜率为1 dc(t) n|=0=e11=0-T 可用此方法在单位阶跃响应曲线上确定时间常数T
4 0.02 3 0.05 4 , ( ) 0.98 98% 3 , ( ) 0.95 95% , ( ) 1 0.632 63.2% 1. : 1 T T t t T c t t T c t t T c t e s 可得调整时间 时 时 时 可以用时间常数去度量 系统输出量的数值 说明 T T e dt T dc t T t T t t 可用此方法在单位阶跃响应曲线上确定时间常数 相应曲线的初始斜率为 ( ) 1 1 1 2. 0 0 1 A T 0.632 斜率1/T
二,单位脉冲响应 当输入信号为理規单位脉冲函数,系统的输出称为 单位脉冲响应 R(s)=L[(t)=1 r(t) 1/TH C(S)= R(s) T's +1 Ts +1 0.368 c(t)=L-[ =—已 Ts +1 T T 三,单位斜坡响应 r(t)=t R(S) r TT 2 C(S) Ts +1 2 s Ts+1 c(t=t-T+ Te T e(t=r(t)-c(t)=T(I-e I) t→>o时 e(∞)=T,跟踪误差为T
1/T T 1 0.368 T t r(t) T T t r(t) 当输入信号为理想单位脉冲函数，系统的输出称为 单位脉冲响应。 1 ] 1 1 ( ) L [ 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) [ ( )] 1 1 T t e Ts T c t Ts R s Ts C s R s L t 二．单位脉冲响应 ( ) , t e(t) r(t) - c(t) T(1 - e ) c(t) t - T Te 1 1 1 Ts 1 1 C(s) s 1 r(t) t R(s) T t - T t - 2 2 2 2 e T Ts T s T s s 时， 三．单位斜坡响应 跟踪误差为T
四,单位抛物线响应 (t)=t2R(s) 11 C(s 十— Ts+1 s TS+1 11 Ts+13S|s=0 T a (7s+1)2,-0 T ds ts +1 S=0 1 d 12T2 a32!42+12(75+1)3=r2 a= T 3 TS +1 s 5 T C(s)= 1 T +- s2s·Ts+1 c(t=-t4-Tt +T 2T2,T e t-T+T(1-e) 2 2
s 1 1 Ts 1 1 C(s) s 1 R(s) 2 1 r(t) 3 4 2 2 3 1 3 3 2 Ts a s a s a s a t 3 4 3 1 2 3 0 2 2 0 2 3 2 0 2 0 0 3 1 3 1 1 Ts 1 1 a ( 1) 2 2 1 Ts 1 1 2! 1 a Ts 1 ( 1) 1 a 1 s 1 Ts 1 1 a Ts T s T Ts T ds d T Ts T ds d s T s s s s s s (1 ) 2 1 2 1 ( ) 1 1 C(s) 2 2 2 2 2 2 3 3 2 T t c t t Tt T T e t Tt T e Ts T s T s T s T t 四．单位抛物线响应
五,结果分析 输入信号的关系为: 脉冲(D)a 阶跃()、2 dh2解坡(l)、a3 a3抛物线() 而时间响应间的关系为 d 2 C脉冲(t)= dt C阶跃() d2斜坡(t a3抛物线() c(t)=1-e7 c(t=t-T+ Te T c(t) e c(t)=t2-mt+T2(1-e) 2
( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 r t dt d r t dt d r t dt d r脉冲 t 阶跃 斜坡 抛物线 (1 ) 2 1 ( ) 2 2 T t c t t Tt T e T t c t e ( ) 1 T t e T c t 1 ( ) T t - c(t) t - T Te ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 c t dt d c t dt d c t dt d c脉冲 t 阶跃 斜坡 抛物线 五．结果分析 输入信号的关系为： 而时间响应间的关系为：
§3二阶系的时域祈 二阶系统的定义:用二阶微分方程描述的系统。 微分方程的标准形式 +2 2 +On c(t=on r( 5—阻尼比,(n一无阻尼自振频率 传递函数及方框图 2 C(s 2 n R(S) +25onS+0 S R(S)s+250ns+an 等效的开环传函及方框图 2 G(S) R(S C(S) S(S+250n) S(s+25a,) c(t)=L4[ 2 R(S)I s2+250nS+
( ) ( ) ( ) 2 d ( ) 2 2 2 2 c t r t dt dc t dt c t n n n s 2 n 2 2 2 n n s R(s) C(s) s(s ) n n 2 2 R(s) C(s) R(s) s 2 C(s) 2 2 2 n n n s R(s)] s 2 c(t) L [ s(s 2 ) G(S) 2 2 -1 n 2 n n n n s 二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。 微分方程的标准形式： —阻尼比， n —无阻尼自振频率。 传递函数及方框图 等效的开环传函及方框图
单位阶跃响应 1.闭环极点的分布 二阶系统的特征方程为 S-+2E0s+O 2 0 n 两根为s12=-5on±on√2-1 ξ的取值不同,特征根不同。 (1)0<5<1(欠阻尼)有一对共轭复根 1.2 =-5on±jonV1-5 2 S × 位于平面的左半部
s 2 0 2 2 n s n 1 2 s1,2 n j n s1 s2 2 n 1 n 一 ．单位阶跃响应 1.闭环极点的分布 二阶系统的特征方程为 两根为 位于平面的左半部 的取值不同,特征根不同。 s 1 2 1,2 n n （1） 0 1（欠阻尼）有一对共轭复根
(2)5=1(临界阻尼),S12=-0n,两相等实根 (3)2>1(过阻尼),S12=5On±OnV2-1,两不等实根 S1 S, (4)2=0(无阻尼),s1=土iOn,一对纯虚根 (5)1<5<0,s2=an±n1V1-2做于右半平面 ×
1 s 1,2 n s2 s1 s1 s2 s2 s1 s1 s2 1 s 1 2 1,2 n n n 0 s1,2 j -1 0 s 1 2 1,2 n jn （2） （临界阻尼）， ，两相等实根 （3） （过阻尼）， ，两不等实根 （4） （无阻尼）， ， 一对纯虚根 （5） ， 位于右半平面
