第六章不可简约实现、严格系统 等价和辨识 6.1引言 6.2正则有理矩阵的特征多项式和次数 6.3正则有理函数的不可约实现 6.4多变量系统的实现 木*2
第六章 不可简约实现、严格系统 等价和辨识 6.1 引言 6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数 6.3 正则有理函数的不可简约实现 6.4 多变量系统的实现
6.1引言 什么是系统实现? 具有指定有理矩阵G(s)的线性时不变动态方程 称为G(s)的实现。 每个可实现的传递函数矩阵G(s)有无限多个线性 时不变动态方程实现。 具有最小可能维数的实现是既可控又可观测的动 态方程,即不可简约动态方程实现称为不可简约实 现或最小维数实现。 木*2
s ∧ ∧ ∧ 具有指定有理矩阵 G(s)的线性时不变动态方程 称为 G( )的实现。 每个可实现的传递函数矩阵 G(s)有无限多个线性 时不变动态方程实现。 具有最小可能维数的实现是既可控又可观测的动 态方程，即不可简约动态方程实现称为不可简约实 一、什么是 统 现或最小维 。 实现？ 数实现 系 6.1 引言
二、为什么要研究标准形和最小实现? 标准形可以显然、简洁的方式反映系统的可控 性、可观测性或其它性质; 2.利用标准形有时会极大简化控制律的设计。例如 在动态输出反馈控制律设计、一些自适应控制系 统的控制律设计中,由于仅输出状态可测量,往 往采用一些标准形作为控制律设计的基础,从而 使控制律的设计尽可能简化; 3.最小实现可以避免对系统可控性和可观测性的讨 论,简化分析和控制器设计。当然,在系统分析 时,有时也需要用到非最小实现。 木*2
1. 标准形可以显然、简洁的方式反映系统的可控 性、可观测性或其它性质； 二、为什么要研究标准形和最小实现？ 2. 利用标准形有时会极大简化控制律的设计。例如 在动态输出反馈控制律设计、一些自适应控制系 统的控制律设计中，由于仅输出状态可测量，往 往采用一些标准形作为控制律设计的基础，从而 使控制律的设计尽可能简化； 3. 最小实现可以避免对系统可控性和可观测性的讨 论，简化分析和控制器设计。当然，在系统分析 时，有时也需要用到非最小实现
6.2正则有理矩阵的特征多项式和次数 定理6-1:设单变量时不变线性动态方程 i=Ax+bn,A∈R,b∈R y=cx+elu,c∈RM,e∈R 是正则有理函数g(s)的一个实现。则当且仅当 de(sl-A)=k(g(s)的分母) 或dmn(A)=deg{(s) 时,方程才是不可简约的(可控且可观测的)。 证明:(略) Det, deg8dm测代表行列式、次数和錐殊
6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数 1 1 , , , , det( ) ( ( ) ) dim( ) deg ( ) nn n n x xu y u sI A k g s A gs × × × =+ ∈ ∈ =+ ∈ ∈ − = = A b AR bR cx e c R e R 设单变量时不变线性动态方程 是正则有理函数g(s)的一个实现。则当且仅当 的分母 或 时，方程才是不可简约的（可控且可观测的）。 定理6-1： 证明：（略） Det,deg和dim分别代表行列式、次数和维数
定义6-1 正则有理矩阵G(s)的所有子式的最小公分母 定义为G(s)的特征多项式,G(s)的特征多项式的次数 定义为G(s)的次数,并记为δG(s)。 木*2
6 1: δ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ − 正 理矩阵G(s)的所有子式的最小公分母 定义为G(s)的特征多项式，G(s)的特征多项式的次数 定义为G(s)的次数，并记为 G 定 则有 义 (s)
例2设有2×3有理函数矩阵如下,求其次数。 G(s)= S+1(s+1)(S+2)S+3 +1(S+1)(S+2) G(s)的一阶子式是它的各个元素项,其二阶子式有三个, 分别为: s+1 (s+1)2(s+2)(s+1)2(s+2)(s+1)2(s+2)(s+1)(s+2) s+4 (S+1)s(s+1)(S+3)(s+1)(s+3) s(S+1)(S+2)(S+1)(S+2)(S+3)s(S+1)(S+2)(S+3 因此,G(s)的特征多项式是s(s+1)(s+2)(s+3) 6G(s)=4
222 1 1 1 ( 1)( 2) 3 11 1 1 ( 1)( 2) 1 11 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1)( 2) 1 4 ( 1) ( 1)( 3) ( 1)( 3) 1 ( s s ss s G s ss s G s s ss ss ss s s s s s ss s s s s s ∧ ∧ × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ++ + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ++ + +== ++ ++ ++ + + + + = + ++ ++ + 例 2 设有 有理函数矩阵如下，求其次数。 2 3 (s) (s)的一阶子式是它的各个元素项，其二阶子式有三个， 分别为： 1 3 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( ) ( 1)( 2)( 3). () 4 s s s s ss s s Gs ss s s δ G s ∧ ∧ − = + ++ + ++ + ++ + = 因此， 的特征多项式是
定义6-1:正则有理矩阵 G(S=N SD(S=D(S)N,(s) 并假设N(s)和D(s)右互质,而D(s)和N(s)左互质。 于是G(s)的特征多项式定义为 detD(s)或detD(s) 且G(s)的次数定义为 degg(s)=degdetD (s)=deg detD,(s) 其中 degdet表示行列式的次数。 木*2
det det de 6 t 1 ∧ ∧ ∧ ∧ − -1 -1 rr l l rr ll r l r l 正则有理矩阵 G(s)=N (s)D (s)=D (s)N (s) 并假设N (s)和D (s)右互质，而D (s)和N (s)左互质。 于是G(s)的特征多项式定义为 D (s)或 D (s) 且G(s)的次数定义为 degG(s)=degdetD (s)=deg D (s) 其中degdet表示行列式 定义 ’： 的次数
定理6-2:设线性多变量时不变动态方程 X=Ax+ Bu y=Cx+ Eu 是正则有理函数G(s)的一个实现。则当且仅当 det(sl-A)=k(G(s)的特征多项式) 或dmA=degG(s) 时,方程F才是不可简约的(可控且可观测的), 其中k为非零常数。 证明:(略) 木*2
. det( ) ( ) dim deg X Ax Bu y Cx Eu sI A k A ∧ ∧ ∧ = + = + − = = 设线性多变量时不变动态方程 是正则有理函数G(s)的一个实现。则当且仅当 G(s)的特征多项式 或 G(s) 时，方程FE才是不可简约的（可控且可观测的）, 其中k为非零常数。 定理6-2： 证明： （略）
6.3正则有理函数的不可简约实现 单变量系统的标准形 =Ax+bl.A∈R"b∈R y=cx+e,c∈R,e∈R A的特征多项式为: △(s)=des-A)=8+0+a22-2+…+ 系统的可控和可观测矩阵为: CA U=[bAb…A"b]∈R,V ∈R n×n ★ A
6.3 正则有理函数的不可简约实现 1 1 , , , , A b AR bR cx e c R R nn n n x xu yu e × × × =+ ∈ ∈ =+ ∈ ∈ A的特征多项式为: 系统的可控和可观测矩阵为： 一、单变量系统的标准形 1 2 1 2 ( ) det( ) − − Δ = − =+ + ++ I A nn n " n s s s as as a 1 1 [ ], n nn nn n − × × − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ∈ =∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c cA U b Ab A b R V R cA " #
1.可控标准形实现 定理:设线性时不变单变量系统可控,则可通过等 价变换将其变成如下所示的可控标准形: 000 T+ U +eu 方程的传递函数为 Bs-+B2s"+…+B ★ S+a1S+…+an_1S+a
12 1 1 21 0 1 0 00 0 0 10 0 0 0 0 01 0 1 [ ] − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −− − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + # # # %# # " " nn n n n x xu aa a a y x eu ββ ββ 定理：设线性时不变单变量系统可控，则可通过等 价变换将其变成如下所示的可控标准形： 1. 可控标准形实现 方程的传递函数为： 1 2 1 2 1 1 1 ˆ( ) n n n n n n n s s g s s as a s a β β β − − − − + ++ = + ++ + "