第三章 系統的数学描述 木*2
第三章 系统的数学描述
主要内容 3.1引言 3.2输入输出描迷 3.3状态空间描述 3.4输入输出描述和状态空间描迷的关系 3.5组合系统的数学描述 3.6离散时间系统 木*2
主要内容 3.1 引言 3.2 输入输出描述 3.3 状态空间描述 3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系 3.5 组合系统的数学描述 3.6 离散时间系统
3.3状态空间描述 、状态变量的定义 系統的输入输出描述仅在松弛的条件下才能采 用。若系统在t时刻是非松弛的,输出y[t0,不能单 单由u0.∞决定,即关系式yt.o= H [to. gusTo.不 成立。考察简单的一阶系统 +t≥t=0 T 容易得到其解 ()=ey(0)+|er(rr 热,:0元期不3克 确定其输出
3.3 状态空间描述 一、状态变量的定义 容易得到其解 显然，若其初始条件yc(0)不能确定，则不能唯一地 确定其输出。 系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采 用。若系统在t0时刻是非松弛的，输出y[t0,∞]并不能单 单由u[t0,∞]所决定，即关系式y[t0,∞]=H [t0,∞]u[t0,∞]不 成立。考察简单的一阶系统： 0 u [, ) t + ∞ c c y y utt0 1 0 τ = − + ≥ = 1 1 ( ) 0 ( ) (0) ( ) t t t c c yt e y e u d τ τ τ τ τ − −− = + ∫
例:考虎一个n阶系統: p0++)+2y2 +…+any=, 由微分方程的知识。其定解条件可取 ()y2(0)…,(t) 已知 木*2
例：考虑一个n 阶系统： ( ) ( 1) ( 2) 12 0 , − − nn n + + ++ = ≥ " n y ay a y a y u t t 由微分方程的知识，其定解条件可取 ( 1) ( 2) 0 00 ( ), ( ), , ( ) n n y t y t yt − − " 已知。 u y
定义:系统在时刻的状态是系统在加时的信息 量,它与叫+)一起,唯一地确定系统在所有 D>t时的行为。 1.时刻状态是系统以往活动情况的最简洁和全面的 表示,使得其、如一起确定输出和信息 量本身的更新。如上例中的y(t),y (t) n)(t)就是这样的信息量 2.随时间D>t不断更新的信息量称为状态变量 或状态向量(例如上面例子中的y(t, y(t),…,y(mp)(t),D>),记为: x=[(0x1()x(∈R",t2
定义：系统在t0时刻的状态是系统在t0时的信息 量，它与 一起，唯一地确定系统在所有 t≥t0时的行为。 0 u[, ) t +∞ 1. t0时刻状态是系统以往活动情况的最简洁和全面的 表示，使得其足以和u[t0,+∞)一起确定输出和信息 量本身的更新。如上例中的y (t0), y’(t0),……,y (n-1)(t0)就是这样的信息量； 2. 随时间t≥t0 不断更新的信息量称为状态变量 或状态向量(例如上面例子中的y (t), y’(t),…, y (n-1)(t)， t≥t0 ），记为： [ ] 1 0 () () () () , T n i n X t xt xt x t t t = ∈≥ " " R
例:考虑t时刻非松抛系統:+1订+a2y=(t之 若信息量只取八(4)显然是不全面的;同样若 取y()、叭()、弧)也是不必要的,因为它们并 不相互独文。因此,可以取t时刻的状态为 jl/py 相应的状态变量就是 x(t) ∈R2,十≥ 可见。尽管这是一个单输入单输出系統。要荻得 系统的全面的信魔,仅仅知道(力是不够邮
例：考虑t0时刻非松弛系统： 12 0 y y y ut t t + α α+= ≥ ( ), 若信息量只取 显然是不全面的；同样若 取 、 、 也是不必要的，因为它们并 不相互独立。因此，可以取 t0 时刻的状态为： 0 y t ( ) 0 y t ( ) u y 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ⎡ ⎤ = ∈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y t t y t x R 相应的状态变量就是 2 0 ( ) () , ( ) ⎡ ⎤ = ∈ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y t t tt y t x R 可见，尽管这是一个单输入单输出系统，要获得 系统的全面的信息，仅仅知道y(t)是不够的。 0 y t( ) 0 y t( )
例:(状态变量的不唯一性)考虎二阶系統: R L □NMN + 0(V 二Cy 其中,R=392,L=1H,C=0.5F。由复数阻抗的方 法容易求出该网络的传递函数 S 22 (s)LCs2+BCs+1(8+1)(8+2)8+18+2 相应的脉冲响应函数为 g(t)=2e-2e,t≥0 ★
例：(状态变量的不唯一性）考虑二阶系统： + u + R L C y 其中，R=3Ω，L=1H，C=0.5F。由复数阻抗的方 法容易求出该网络的传递函数： 2 () 1 2 2 2 ( ) 1 ( 1)( 2) 1 2 = = =− + + ++ + + y s u s LCs RCs s s s s 相应的脉冲响应函数为： 2 g( ) 2 2 , 0 − − = − ≥ t t t e et
在非松弛的情况下,输入输出的关系式为 ()=|9(t-7)u(r)dr+|9(t-7)u(r)dr I对>机时输出产生的影响 g(-T)u()dT=26 2()-2e2 ()d (t0) 2ec(t6)-2c2c2(t) I+II ()=2c6(6)-2(4)+9(-7()r 在时刻补充的信息量完全可以取(+和2(恢 定义状态变量x1(4)=1(t),(=2(
在 非松弛的情况下，输入 t 0 —输出的关系式为 0 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) t t t yt gt u d gt u d −∞ = − +− ∫ ∫ τ ττ τ ττ I II I： 对 时输出产生的影响： 0 u( ,) −∞ t > 0 t t 0 00 10 20 2 2 () () 2 10 20 ( )() 2 () 2 () 2 () 2 () − − −∞ −∞ −∞ − − −= − = − ∫ ∫∫ t tt t t ct c t t t gt u d e eu d e e u d ect e c t τ τ τ ττ ττ ττ 0 2 10 20 () 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) − − = − +− ∫ + t t t t yt e c t e c t gt u d τ ττ I II: 在时刻 t0补充的信息量完全可以取 c1 ( t0)和 c2 ( t0)，即 定义状态变量 x1 ( t0)= c1 ( t0), x2 ( t0) = c2 ( t0)
另一方面,由上式,对y(t求导数后有 ()=-2ec1(t)+4e6c2(t) 注危到 (t)=2e-c()-2e-0c2(4) 故我们也可以取和为时刻的状态。 事实上,若流经电感的初始电流y(t)以及电 容两蜡的初始电压y(t)为已知,则在任何驱 压下,网络的动态行为就完全可以确定
事实上，若流经电感的初始电流 y ’ ( t0)以及电 容两端的初始电压 y ( t0)为已知，则在任何驱动电 压下，网络的动态行为就完全可以确定。 另一方面，由上式，对y ( t)求导数后有 0 0 2 0 10 20 () 2 () 2 () t t yt e c t e c t − − = − 0 0 2 0 10 20 () 2 () 4 () t t yt e c t e c t − − =− + 注意到 0 0 0 0 2 0 10 2 0 20 () () 2 2 () () 2 4 − − − − ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 即： t t t t yt c t e e yt c t e e 故我们也可以取 和 为 y t( ) 0 y t ( ) 0 t0时刻的状态
例:单位时间延迟系統,是对所有t其输出y(t)等于 u(t-1)的装置。对于这一系統,为了唯一地由 =确定+册要知道[)的信息。 因此这一信息4)就可以作为系统在t时刻的状 态。这个例子和前面的例子不同,这里t时的状态由 无限个数所组成。 木*2
例: 单位时间延迟系统，是对所有t其输出y(t)等于 u(t-1)的装置。对于这一系统，为了唯一地由 0 u[, ) t +∞ 0 [, ) t +∞ 确定 y 01 0 [ ,) − 需要知道 u t t 的信息。 01 0 [ ,) t t u 因此这一信息 就可以作为系统在 − t0时刻的状 态。这个例子和前面的例子不同，这里t0时的状态由 无限个数所组成。 t0 t0-1 u y