五、时不变缆性系統x=Ax的稳定性判据 n维时不变系统的方程为 8-10 ∴=X 因是定常系统,不失一般性,可令t6=0: xt=ex 特征方程为de(s-A)=0(81) 系统(8-10的稳定性完全可由特征方程式(8-1)的根 及其相应的模式来决定。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
系统(8-10)的稳定性完全可由特征方程式(8-11)的根 及其相应的模式来决定。 n 维时不变系统的方程为 x x & = A (8-10) 0 ( ) 0 0 0 , ( ) : A t t x e x x t x - = = t = 0 因是定常系统，不失一般性，可令 0 : ( ) (0) At x t =e x 五、时不变线性系统 x x & = A 的稳定性判据 特 征 方 程 为 det(sI - A) = 0 (8-11) PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
1.运动模式及其收敛、发散、有界的条件 810)式中A阵的特征值称为模态,n重特征值 λ对应的运动形式可能有e",te,,,t-e均称为 系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现,究竟 出现多少项取决于先的几何结构。例如下面不同的约 当形结构对应有不同的运动模式: 例题A-1 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
1. 运动模式及其收敛、发散、有界的条件 1 1 A A é ù é ù ê ú ê ú = Þ = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û l l l l l l t t t t e e e e 例题A-1 (8-10) 式中A阵的特征值称为模态，ni 重特征值 l 对应的运动形式可能有e lt , telt ,…, , 均称为 系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟 出现多少项取决于l 的几何结构。例如下面不同的约 当形结构对应有不同的运动模式： n t t e i -1 l PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
e te t 1→e 尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等,但 却有不同的几何重数:他们分别为3、2、1。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
2 2 1 A A t t t t t e te e e e é ù é ù ê ú ê ú = Þ = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û l l l l l l l 3 2 3 1 1 2 1 A A t t t t t t t e te t e e e te e é ù ê ú é ù ê ú = Þ = ê ú ê ú ë û ë û l l l l l l l l l 尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但 却有不同的几何重数：他们分别为3、2、1。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
注 1)代数重数n2:特征式中仅有的因子(s-1y 2)几何重数n:2对应的线性无关的特征向量的 个数,即属于A2的约当块的块数。几何重数五 可以如下求出: =n -rank(I-a) 例:若λ为6阶系统的三重根,且由计算得到 6-rank(I-A)=6-3=3 則表明λ有三个线性无关的特征向量。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
注： 1) 代数重数 ni ：特征式中仅有的因子 ( ) i n i s l - 例：若li为6阶系统的三重根，且由计算得到 6 ( I A) 6 3 3 i i n = - ran k l - = - = 则表明li有三个线性无关的特征向量。 2) 几何重数 ： l i对应的线性无关的特征向量的 个数，即属于li 的约当块的块数。 几何重数 可以如下求出： i n i n ( ) i i n = n - - ran k l I A PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
以下几种提法是等价的(参看矩阵分 析):对特征值1 a)是最小多项式的单根 (b)的初等因子都是一次的; (c)对应的J是对角形; (d)对应的约当块的个数等于代数重数; (e)几何重数等于代数重数 PDF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprint,com,cn
5 以下几种提法是等价的（参看矩阵分 析）：对特征值li (a) li 是最小多项式的单根; (b) li 的初等因子都是一次的； (c) 对应的 Ji 是对角形； (d) 对应的约当块的个数等于代数重数； (e) 几何重数等于代数重数. PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn
由以上讨论可以得出的结论是 1)Reλ0,λ对应的所有运动模式发散,即随着时间 趋于无穷而趋于无穷,并且是按指数规律发散。 3)Reλ=0,分两种情况: 口若λ对应的约当块全是一阶子块,这时λ的代数 重数与几何重数一致,不会发生发散现象,运动 模式也不收敛,运动模式是有界的; PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
由以上讨论可以得出的结论是： 1) Re l 0, l 对应的所有运动模式发散，即随着时间 趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散.。 3) Re l =0, 分两种情况： q 若 l 对应的约当块全是一阶子块，这时l 的代数 重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动 模式也不收敛，运动模式是有界的； PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
口当λ的几何重数小于代数重数,元对应的约当块 定有二阶或二阶以上的出现,这时运动模式发散 但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部 重根出现时,一定要研究它的几何重数后,才可对 运动模式的形态作出结论。 要将例题A-1中的特征值λ换为零,就可证实 以上结论: 000 00 A1=000→e=010 000 001 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
q 当l 的几何重数小于代数重数，l 对应的约当块一 定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散， 但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部 重根出现时,一定要研究它的几何重数后，才可对 运动模式的形态作出结论。 只要将例题A-1中的特征值l换为零，就可证实 以上结论： A1 1 0 0 0 1 0 0 A 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 t e é ù é ù ê ú ê ú = ® = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
t 0 000 00 000 →e 00 10 000 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
8 3 2 A 3 1 1 0 1 0 2 A 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 é ù ê ú é ù ê ú ê ú = ® = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û t t t e t A 2 2 0 1 0 1 0 A 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 é ù é ù ê ú ê ú = ® = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û t t e PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
2.稳定性判据 定理8-4:系统dwd=Ax的稳定性有以下充分必要条件 1)(李氏)稳定:dets-A)实部为零的根对应的初等 因子是一次(或对应的约当块为一阶子块,或是最 小多项式的单根;几何重数等于代数重数。),且 其余根均具负实部。 2)渐近稳定:des-A)所有根均具负实部。 3)不稳定:dets-A)有正实部的根或实部为零的根 对应的初等因子不是一次 证明:根据定理8-2,我们只要讨论其状态转移矩阵 的性质就可以了 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建kw, fineprint,com,cn
定理8-4：系统dx/dt=Ax的稳定性有以下充分必要条件 1) (李氏)稳定： det(sI-A)实部为零的根对应的初等 因子是一次(或对应的约当块为一阶子块，或是最 小多项式的单根；几何重数等于代数重数。) ，且 其余根均具负实部。 2) 渐近稳定： det(sI-A)的所有根均具负实部。 3) 不稳定： det(sI-A)有正实部的根或实部为零的根 对应的初等因子不是一次。 证明：根据定理8-2，我们只要讨论其状态转移矩阵 的性质就可以了。 2. 稳定性判据 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 /www.fineprint.com.cn /
●设A的互异特征值分别是λ1,42…,m 将eA写成PeP1,这里 2显然,只要讨论e的 te 有界性和收敛性即可, 而这等价于讨论e的 每个元素的有界性和 收敛性。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
2 · A l l l L m; 设 的互异特征值分别是 1， ， ， •将e At 写成 Pe Jt P-1，这里 ( ) 1 1 2 1 1 1 ( 1)! i i ij i i i i ij i i i i i i i i i ij ir i m n t t t ij t t t t t t e te e n te e e te e l l l l l l l l l l l - é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú = Þ = Þ = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û é ù ê ú - Þ = ë û J J J J J J J J J J O O O O O 144424443 L L O O O 显然，只要讨论e Jt的 有界性和收敛性即可， 而这等价于讨论e Jt 的 每个元素的有界性和 收敛性。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/