第七章非线性控制系统分析 13 非线性系统分析 非线性:指元件或环节的静特性不是按线性规律变化 非线性系统:如果一个控制系统,包含一个或一个以上具有非 线性静特性的元件或环节,则称这类系统为非线性系统,其特 性不能用线性微分方程来描述 控制系统中的典型非线性特性 下面介绍的这些特性中,一些是组成控制系统的元件所固有 的,如饱和特性,死区特性和滞环特性等,这些特性一般来 说对控制系统的性能是不利的;另一些特性则是为了改善系 统的性能而人为加入的,如继电器特性,变增益特性,在控 制系统中加入这类特性,一般来说能使系统具有比线性系统 更为优良的动态特性
1 引言 第七章 非线性控制系统分析 非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非 线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特 性不能用线性微分方程来描述。 一．控制系统中的典型非线性特性 下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有 的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来 说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系 统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控 制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统 更为优良的动态特性。 非线性系统分析
饱和特性 ke(t) e()≤a x() k kasigne(t) e()>a 式中a-线性区宽度 k线性区特性的斜率 +1 signe(t) e()>0 e() a 0 a
x(t) = kasigne t e t a k e t e t a ( ) ( ) ( ) ( ) 饱和特性 式中 a −线性区宽度 k −线性区特性的斜率 e(t) − + = 1 ( ) 0 1 ( ) 0 ( ) e t e t signe t （2）死区特性 − = k e t asigne t e t a e t a x t ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )
式中a-死区宽度 k-线性输出的斜率 k[e()-E]x()>0 x()={ke()+引x(1)<0 signe (t i(t=0 式中26-间隙宽度 间隙特性斜率 危害:使系统输出信号在相位上产生滞后,从而降低系统的相对 稳定性,使系统产生自持振荡 危害:使系统输出信号在相位上产生滞后,从而降低系统的相对 稳定性,使系统产生自持振荡。 (4)继电器特性
式中 a −死区宽度 k -线性输出的斜率 式中 2 −间隙宽度 k −间隙特性斜率 危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。 危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。 （4）继电器特性 = + − = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) bsigne t x t k e t x t k e t x t x t
(4)继电器特性 ma0 b a0 x(2) () b b () b (1)a=0 =-1 功能:改善系统性能的切换元件
功能：改善系统性能的切换元件 （4）继电器特性 − − − − = ( ) , ( ) 0 ( ) , ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) , ( ) 0 0 ( ) , ( ) 0 ( ) b e t m a e t b e t m a e t bsigne t e t a a e t m a e t m a e t a e t x t
变增益特性 t) ∫k;c()()a 式中k1,k2-变增益特性斜率 a-切换点 特点:使系统在大误差信号时具有较大的增益,从而使系统响应迅 速;而在小误差信号时具有较小的增益,从而提高系统的相对稳定 性。同时抑制髙频低振幅噪声,提髙系统响应控制信号的准确度 本质非线性:不能应用小偏差线性化概念将其线性化 非本质非线性:可以进行小偏差线性化的非线性特 线性控制系统的特性 1)对于线性系统,描述其运动状态的数学模型量线性徼分方程, 它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统,其数学模型 为非线性微分方程,不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这 种差别,所以它的运动规律是很不相同的。目前,还没有像求解线
变增益特性 = k e t e t a k e t e t a x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 式中 1 2 k , k -变增益特性斜率 a -切换点 特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅 速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定 性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化 非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特 二．非线性控制系统的特性 （1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程， 它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型 为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这 种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线
性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统, 般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在 系统是否稳定,系统是否产生自持振荡,计算机自持振荡的振幅和 频率,消除自持振荡等有关稳定性的分析上 (2)在线性系统中,系统的稳定性只与其结构和参数有关,而与 初始条件无关。对于线性定常系统,稳定性仅取决于特征根在s平 面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关 外,还和初始条件有关。在不同的初始条件下,运动的最终状态可 能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的,而当 初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之,也可能初始值大时 系统稳定,而初始值小毕低撤炊晃定。甚至还会出现更为复杂的 情况 (3)在非线性系统中,除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两 种运动形式外,往往即使无外作用存在,系统也可能产生具有一定 振幅和频率的稳定的等幅振荡
性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统， 一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在 系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和 频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。 （2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与 初始条件无关。对于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平 面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关 外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可 能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当 初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时 系统稳定， 。甚至还会出现更为复杂的 情况。 （3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两 种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定 振幅和频率的稳定的等幅振荡
自持振荡:无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为 自持振荡,简称自振荡 改变非系统的结构和参数,可以改变自持振荡的振幅和频率,或消 除自持振荡。 对线性系统,围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式,其中 不可能产生稳定的自持振荡。 (4)在线性系统中,输入为正弦函数时,其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数,输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同,因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式 三.非线性系统的研究方法 现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。 对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理 对本质非线性系统 二阶系统:相平面法 高阶系统:描述函数法
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为 自持振荡，简称自振荡。 改变非系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消 除自持振荡。 对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中 不可能产生稳定的自持振荡。 （4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。 三．非线性系统的研究方法 现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。 对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理 对本质非线性系统 二阶系统：相平面法 高阶系统：描述函数法
2.相平面法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法 基本概念 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 x= f(, x) (1) 如果以x和x作为变量,则可有 dx 2) t=/(x分) 用第一个方程除第二个方程有 di f(x, x) (3) dx 这是一个以x为自变量,以为因变量的方程,如果能解出该方程,则 可以用(2)式把x,t的关系计算出来。因此对方程(1)的研究,可以 用研究方程(3)来代替。如果把方程(1)看作质点的运动方程,则x 代表质点的位置,ⅸ代表质点的速度(因而也代表了质点的
2.相平面法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。 一．基本概念 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 x = f (x, x) （1） 如果以x和x作为变量，则可有 = = f (x, x) dt dx x dt dx （2） 用第一个方程除第二个方程有 x f x x dx dx ( , ) = （3） 这是一个以x为自变量，以x为因变量的方程，如果能解出该方程，则 可以用（2）式把x,t 的关系计算出来。因此对方程（1）的研究，可以 用研究方程（3）来代替。如果把方程（1）看作质点的运动方程，则x 代表质点的位置，x代表质点的速度（因而也代表了质点的
动量)。用x和ⅸ描述方程(1)的解,也就是用质点的状态(如位置和 动量)来表示质点的运动。在物理学中,这种不直接用时间变量而用 状态变量表示运动的方法称为相空间法,也称为状态空间法。在自动 控制理论中,把具有直角坐标的x和x的平面称为相平面,相平面是二 维的状态空间。 线性系统的相轨迹 设描述系统运动的微分方程为 x+25wnx+wnx=0 分别取x和ⅸ为相平面的横坐标和纵坐标,上述方程为: di dx dx +25vn+nx=0 dr 25wnx+wnx dx 上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率,在x=0及 文=0,即坐标原点(0,0)处的斜率为女=%,由此我们有奇点的 定义
动量）。用x和x 描述方程（1）的解，也就是用质点的状态（如位置和 动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用 状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动 控制理论中，把具有直角坐标的x 和x的平面称为相平面，相平面是二 维的状态空间。 二．线性系统的相轨迹 设描述系统运动的微分方程为 2 0 2 x+ wn x + wn x = 分别取 x 和 x 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ， 上 述 方 程 为 ： 2 0 2 + w x + w x = dt dx dx dx n n 则 x w x w x dx dx n n 2 2 + = − 上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率，在 x = 0 及 x = 0，即坐标原点（0，0）处的斜率为 0 = 0 dx dx ，由此我们有奇点的 定义
奇点:相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点 (1)无阻尼运动形式(=0) 积分有=「v2d 2 x-+ X 中心点 (2)欠阻尼运动形式(0<2<1)
奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点。 （1）无阻尼运动形式（ = 0） = dx dx x w x n 2 − 积分有 xdx w xdx = − n 2 2 2 2 2 A w x x n + = （2）欠阻尼运动形式(0 1)