第四章线性动态方程和脉冲 响应矩阵 4.1引言 4.2动态方程的解 4.3等价动态方程 4.4脉冲响应矩阵和动态方程 木*2
第四章 线性动态方程和脉冲 响应矩阵 4.1 引言 4.2 动态方程的解 4.3 等价动态方程 4.4 脉冲响应矩阵和动态方程
4.1引言 本章主要研究动态方程的解,并以 状态转移矩阵来表示动态方程的解。 然后提出等价动态方程的概念并证明 个时不变动态方程均具有矩阵为常 值的等价动态方程,最后给出动态方程 和脉冲响应矩阵之间的关系 木*2
4.1 引言 本章主要研究动态方程的解,并以 状态转移矩阵来表示动态方程的解。 然后提出等价动态方程的概念并证明 一个时不变动态方程均具有矩阵为常 值的等价动态方程,最后给出动态方程 和脉冲响应矩阵之间的关系
4.2线性动态方程的解 、齐次方程的解 首先考虑一般的线性微分方程 文=A(t)x+f(t),x(t6)=x0∈R x, fER ,A(t=(a i (t)) 的解的性质。 ★
一、齐次方程的解 4.2 线性动态方程的解 首先考虑一般的线性微分方程： 的解的性质。 ( ) ( ), ( ) 0 0 , , ( ) ( ( )) × = ∈ ∈ = n n ij n n ttt t at x=A x+f x x R xf R A
定理:(解的存在和唯一性)设A及f的每 个元素a;(t),f均在(∽,+∞)上连续,则 对于任何∈(-,+)及任何常向量x,方程 恒有定义在整个(-,+∞)上的解x=x(t),满 足初值条件 X()=x 并且方程也只能有一个解满足。 ★
定理：（解的存在和唯一性）设A及f的每 个元素aij(t)，fi 均在 上连续，则 对于任何 及任何常向量x0，方程 恒有定义在整个 上的解x=x(t)，满 足初值条件： (, ) −∞ +∞ 0t ∈(, ) −∞ +∞ (, ) −∞ +∞ x x ( ) t0 = 0 并且方程也只能有一个解满足
说明:文=A(tx打开后的形式是 70 () A(t) 因此,其解向量x(t)必然属于R。称业()是 微分方程的一个解,系指 y(t)=A(ty(t) 木*2
N N 1 11 12 1 1 2 2 1 ( ) () () () () () ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ " % # % ## " " n n n nn n t x at at a t x x x x at a t x x x A 说明： =A( x t)x 打开后的形式是： 因此，其解向量x( t) 必然属于 。称 是 微分方程的一个解，系指： \ n Ψ( )t () () () = Ψ Ψ t tt A
定理4-1:方程a/dt=A(tx的所有解 的集合,形成在实数域上的n雏向量空 定理4-1包含以下两层意义; a)解的集合组成线性空间; b)解空间的维数是n。分成两部分证明 )dx/dt=A(t)x有m个线性无关的解 2)其任一解均可表成它们的线性组合。 木*2
定理4－1：方程dx/dt=A(t)x 的所有解 的集合，形成在实数域上的n 维向量空 间。 定理4－1包含以下两层意义： a)解的集合组成线性空间； b)解空间的维数是n 。分成两部分证明： 1）dx/dt=A(t)x有n个线性无关的解； 2）其任一解均可表成它们的线性组合
证明: a)方程所有解构成线性空间 任取/d=A(x的两个解亚、亚,则对任意的 实数a1和a,有 (a亚+a22)=a+a2业2=CA)业+2A(t厘业 dt a(t(ay+a,y,) 木*2
证明： a) 方程所有解构成线性空间： 任取dx/dt=A(t)x的两个解Ψ1、 Ψ2，则对任意的 实数α1和α2，有 11 2 2 11 2 2 1 1 2 2 11 2 2 ( ) () () ( )( ) + =+ = + = + A A A d t t dt t αα αα α α α α ΨΨ ΨΨ Ψ Ψ Ψ Ψ
b)证明解空间的维数是m 1)设e,e2…,e是n个线性无关的向量,更()是在初 始条件 e 时方程X=A(t)x的解。要证明,亚,,,y 是线性无关的∧个解。 木*2
0 ( ) e i i Ψ t = (i=1，2，…，n) 时方程 的解。要证明， xAx = ( )t 是线性无关的n个解。 1 2 , ,, " n ΨΨ Ψ ( ) i Ψ t 始条件 1)设 ee e 1 2 ,,, " n 是n个线性无关的向量， 是在初 b)证明解空间的维数是n：
反证法:亚,驴,…亚若线性相关,必存在 个n×1非零实向量a使得 特别,当仁t时就有 亚(t)业(t)…业()j =0 上式意味着向量组e,e,…,e”线性相关,这与初 始假设矛盾。矛盾表明 亚(t),亚2(t 在(-∞,+0)上线性无关。 木*2
1 2 [ ]0 " = ∀ n Ψ Ψ Ψα t 反证法： 若线性相关，必存在 一个n×1非零实向量α 使得 1 2 , ,, " n ΨΨ Ψ 特别，当t=t0时就有 1 2 00 0 1 2 [ ( ) ( ) ( )] [ ]0 ee e n n tt t = = " " Ψ Ψ Ψα α 1 2 ee e ,, , " n 上式意味着向量组 线性相关，这与初 始假设矛盾。矛盾表明 在 上线性无关。 (, ) −∞ +∞ 1 2 ( ), ( ), ( ) " n ΨΨ Ψ tt t
2)证明ax/dt=A(x的任一解均可表成它们的线性 组合,即解的集合组成了m维线性空间。 令业是方程/d=A(x满足初条件 业()=e 的任一解。e显然可唯一地被e,e2…,e"线性表 出 e=a1e+a,e-+…+a,e ∑ ae ★
的任一解。e 显然可唯一地被 线性表 出： 1 2 ee e ,,, " n 2) 证明dx/dt=A(t)x的任一解均可表成它们的线性 组合 ，即解的集合组成了n维线性空间。 1 2 1 2 1 ee e e e = = + ++ = " ∑ n n i n i i aa a a 0 Ψ( ) t = e 令 是方程 Ψ dx/dt=A(t)x满足初条件