第三章 系統的数学描述 木*2
第三章 系统的数学描述
主要内容 3.1引言 3.2输入输出描迷 3.3状态空间描述 3.4输入输出描述和状态空间描迷的关系 3.5组合系统的数学描述 3.6离散时间系统 木*2
主要内容 3.1 引言 3.2 输入输出描述 3.3 状态空间描述 3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系 3.5 组合系统的数学描述 3.6 离散时间系统
3.5输入输出描述和状态空间描述的关系 一、两种描述方法的比较 1.输入输出描述仅揭示在初始松弛的假定下输入 与输出之间的关系。这种描述方法不能表示在非 松弛情况下系统的输入输出关系,更重要的一点 是它也不能揭示系统内部的行为。 例:考虑系统:y+a1y+a2y=u(t),t≥t=0 U y 若y(0)=y2(0)=0,可直接用传递函数描述系统的 输入输出关系: 1 y(s 2 u(s 2 灰
3.5 输入输出描述和状态空间描述的关系 u y 1. 输入—输出描述仅揭示在初始松弛的假定下输入 与输出之间的关系。这种描述方法不能表示在非 松弛情况下系统的输入输出关系，更重要的一点 是它也不能揭示系统内部的行为。 一、两种描述方法的比较 例：考虑系统： 12 0 y y y ut t t + α α+ = ≥= ( ), 0 2 1 2 1 () () = + + ys us s s α α 若y(0)=y’(0)=0，可直接用传递函数描述系统的 输入输出关系：
內部状态y是不能观测到的。若控制对y亦有要 求,则采用经典控制论的设计方法有时难以奏效。 采用状态空间描述; R L + + Ax+bt≥6n 系统的内部和外部状态均能得到揭示。 1Q
内部状态y’ 是不能观测到的。若控制对y’ 亦有要 求，则采用经典控制论的设计方法有时难以奏效。 采用状态空间描述： 0 ( ) () , ( ) ⎡ ⎤ = =+ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y t t ut t y t x Ax b 系统的内部和外部状态均能得到揭示。 1Ω 1 y 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω 2 y 1Ω 1Ω 1Ω + u + R L C y
2.对于比较复杂的线性系统。求其动态方程是一件 困难的工作。在这种情况下,借助于直接量测来 得到输入输出描述有时更为有效。 通常可以对每一输入端施以脉冲,则输岀端 的响应就立刻为我们提供了系統的脉冲响应矩 阵。实际实验过程中,很难产生脉冲函数,因此 常采用单位阶跃函数选行实验。在求得单位阶跃 响应后,获得脉冲响应矩阵。 8 (t-to) 91(t ★
2. 对于比较复杂的线性系统，求其动态方程是一件 困难的工作。在这种情况下，借助于直接量测来 得到输入 —输出描述有时更为有效。 通常可以对每一输入端施以脉冲，则输出端 的响应就立刻为我们提供了系统的脉冲响应矩 阵。实际实验过程中，很难产生脉冲函数，因此 常采用单位阶跃函数进行实验。在求得单位阶跃 响应后，获得脉冲响应矩阵。 0 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1 ( ) 0 (, ) (, ) (, ) (, ) ⎧ ≥ − = ⎨ ⎩ < = ∂ = − ∂ ∫ t t t t t t t t g tt gt d gtt g tt t δ τ τ
3、在经典控制理论中,分析和综合都是在传递函 数基础上实现的。例如容易用根轨迹方法或Bode图 完成反馈系統的设计。这种设计由于解的不唯一 性。在设计法上含有较多的试凑的成份,故设计者 的经验起着很重要的作用。对于多变量情形时,上 述方法很难实现。 4、现代控制理论能处理那些经典理论所不能处理的 问题,如最优控制问题、极点配置问题等。 在现代控制理论中,系統设计是用动态方程完 成的,可以推广到时变情形。而传递函数向时变情 形的推广是不成功的。虽然动态方程的解析解可能 直接得到,但其数值计算通常要用计算机来完
3、在经典控制理论中，分析和综合都是在传递函 数基础上实现的，例如容易用根轨迹方法或Bode图 完成反馈系统的设计，这种设计由于解的不唯一 性，在设计法上含有较多的试凑的成份，故设计者 的经验起着很重要的作用。对于多变量情形时，上 述方法很难实现 。 4、现代控制理论能处理那些经典理论所不能处理的 问题，如最优控制问题、极点配置问题等。 在现代控制理论中，系统设计是用动态方程完 成的，可以推广到时变情形，而传递函数向时变情 形的推广是不成功的。虽然动态方程的解析解可能 直接得到，但其数值计算通常要用计算机来完成
5、本书中所研究的动态方程仅限于有限维的情况, 故它们仅适用于集中参数系统(用微分方程描述的 系统,其运动状态只是时间t的函数)。 输入—输出描述既适用于集中参数系统也适用 于分布参数系統(用偏微分方程描述的系统,其运 动状态不仅是时间的函数,而且还是空间变量的函 数。如横向振动的弦,它的横向位移u(tx既是时 间t,又是弦上不同点做置x的函数)。 由上述讨论可见。输入一输出描迷和动态方程 描述各有长处。因此,为了有效地选行设讣,一个 设计者应该掌握这两种描述。 木*2
5、本书中所研究的动态方程仅限于有限维的情况， 故它们仅适用于集中参数系统（用微分方程描述的 系统，其运动状态只是时间t 的函数）。 输入 —输出描述既适用于集中参数系统也适用 于分布参数系统（用偏微分方程描述的系统，其运 动状态不仅是时间 t的函数，而且还是空间变量的函 数。如横向振动的弦，它的横向位移 u ( t,x)既是时 间 t，又是弦上不同点位置 x 的函数）。 由上述讨论可见，输入 —输出描述和动态方程 描述各有长处。因此，为了有效地进行设计，一个 设计者应该掌握这两种描述
、由系统输入输岀擋述导出状态空间描述 ·1、单输入单输出系统 0+a1y420)+…+y)+0=bnm)+bn210+…+b20)+ lo(s)1s bnm+bn-+….+d+b Ta.on-I +ans+ao 当m〈n时有 + ·当m=n时 当皿=0时 a0-1-0 当m≠=0时 y=[(b…,bm,0.…0 ★ 2、多输入多输出系统
• 1、单输入单输出系统 二、由系统输入输出描述导出状态空间描述 ( ( 1) (1) ( ) ( 1 (1) 1 0 1 10 ...... ...... − − ++ += + ++ + − ） ） ＋an-1 nn m m y y ay a y b u b u bu b m m 1 1 1 10 1 1 1 0 ( ) ...... ( ) ( ) ...... − − − + +++ = = ＋an-1 ++ + m m m m n n y s b s b s ba b g s u s s s as a s •当m<n时有： •当m=n时 •当m＝0时 •当m≠0时 01 1 0 0 1 0 0 1 0 1 [( , , , 0, , 0] − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − −− ⎣ ⎦ = # % # " " n m x xu a aa yb b x • 2、多输入多输出系统
三、由方框图描述导出状态空间描述 ·步骤 1、化给定方框图为规范化方框图(称一个方框图 为规范化方框图。当且仅当其各组成环节的传递 函数只为一阶惯性环节(k/(s+si))和比例放大环 节ki) ·2、对规范化方框图指定状态变量组 3、列写变量关系方程 4、导出变换域状态变量方程和输出变量方程 5、导出状态空间变量。 木*2
• 步骤： • 1、化给定方框图为规范化方框图（称一个方框图 为规范化方框图，当且仅当其各组成环节的传递 函数只为一阶惯性环节（k/(s+si))和比例放大环 节ki） • 2、对规范化方框图指定状态变量组 • 3、列写变量间关系方程 • 4、导出变换域状态变量方程和输出变量方程 • 5、导出状态空间变量。 三、由方框图描述导出状态空间描述
四、由状态空间描迷导出传递函教矩阵 若系统在松孢,亦即x0=0,则时不变系 統经拉普抆斯变换得 y(s)=[C(SI-A) B+ EJu(s)=G(s)u(s G(s=c(sl-A)B+E 也可以改写为 G C[Adj(sI-A)B+E det(sl-a
四、由状态空间描述导出传递函数矩阵 1 () ( ) − G CI A B ss E = − + 1 () [ ( ) () () () − y C I A B ]u G u s s Es ss =− + = 若系统在t 0松弛，亦即x 0=0，则时不变系 统经拉普拉斯变换得： 也可以改写为： 1 () ( ) det( ) = −+ − s sE sI A G C[Adj I A ]B