§5.3a衰变的基本理论 1.a粒子与原子核的相互作用 Gamow and Gurney, 1928 F a粒子在衰变前已经在母核内形成,并自由地高速运动;由于隧道效应,a 粒子以一定几率穿过相互作用位垒发射出来。衰变几率: n:单位时间内a粒子碰撞势垒的次数 P:穿透几率。 问题:核内形成a集团并获得高能量的机制和概率; (课堂讨论) a粒子在核内的运动; 表面作用和穿透 作用势: 内部作用力很小,作用势近似为常数; 表面有很强的吸引力,作用势很快升高; 核外只有库仑相互作用 图59a衰变的势能曲线
§5.3 α 衰 变 的 基 本 理 论 1．α 粒子与原子核的相互作用 Gamow and Gurney, 1928 年: α粒子在衰变前已经在母核内形成，并自由地高速运动；由于隧道效应，α 粒子以一定几率穿过相互作用位垒发射出来。衰变几率： λ = nP n：单位时间内α粒子碰撞势垒的次数； P: 穿透几率。 问题：核内形成α集团并获得高能量的机制和概率； (课堂讨论) α粒子在核内的运动； 表面作用和穿透 作用势： 内部作用力很小，作用势近似为常数； 表面有很强的吸引力，作用势很快升高； 核外只有库仑相互作用
近似 当厂<R时 ()={2(Z-2)e 你r≥R时 4er 思考题:用测不准关系估计a粒子在势井中的最小 动能。 2.库仑势垒 势能曲线在母核的外围突起,称为库仑势垒。r=R处,子核对于a粒子的库仑势 垒高度 =(R)=22e ZZe2 4zE0R4(43+A3) 式中A1和A2分别表示子核和a粒子的质量数。显然,对于任何两个原子核,设其电荷 数和质量数分别为Z1,A1和Z2,A2,则两核相互作用的库仑势垒高度 Z? 4TEo(A3+4) r0一般取值145×1013cm。用能量单位MeV表示库仑势垒高度时,式可近似地简写为 Z1Z2
近似： ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥ − − < = 时当 时当 Rr r eZ V Rr rV 4 )( )2(2 0 2 0 πε 思考题：用测不准关系估计α粒子在势井中的最小 动能。 2. 库仑势垒 势能曲线在母核的外围突起，称为库仑势垒。r＝R 处，子核对于α 粒子的库仑势 垒高度 (44 ) )( 3/12 3/1100 2 21 0 2 21 c AAr eZZ R eZZ RVV + === πεπε 式中 A1 和 A2 分别表示子核和α 粒子的质量数。显然，对于任何两个原子核，设其电荷 数和质量数分别为 Z1，A1和 Z2，A2，则两核相互作用的库仑势垒高度 )(4 3/12 3/1100 2 21 c AAr eZZ V + = πε r0一般取值 1.45×10-13cm。用能量单位 MeV 表示库仑势垒高度时，式可近似地简写为 3/1 2 3/1 1 21 c AA ZZ V + ≈
3.经典理论的困难 例如2Po的a衰变能为895MeV但a衰变时的库仑势垒高度V为2MeV,比a 衰变能895MeV要大得多。 而从经典观点看,a粒子要从核内发射出来,要求a衰变能大于势垒高度。 4.a衰变的量子理论 由量子力学知道,微观粒子具有一定的概率能够穿透势垒,这种现象称为“隧道效 应”。根据“隧道效应”,经典力学所不能解释的a衰变就成为可能了。 按量子力学的势垒穿透理论(=0,一维问题),a粒子穿透势垒的概率为(WKB方法) 2一h2 2u[v(r)-Ea ldr = exp E 4丌Enr 式中,p为a粒子与子核的折合质量, 2122e Re Ed=v(re=4IsR ze R。 4兀E。E,, 显然: V/Ed=r/r
3. 经典理论的困难 例如 84 212 Po 的α 衰变能为 8.95MeV 但 α 衰变时的库仑势垒高度 Vc为 22MeV，比α 衰变能 8.95MeV 要大得多。 而从经典观点看，α 粒子要从核内发射出来，要求α 衰变能大于势垒高度。 4．α 衰变的量子理论 由量子力学知道，微观粒子具有一定的概率能够穿透势垒，这种现象称为“隧道效 应”。根据“隧道效应”，经典力学所不能解释的α 衰变就成为可能了。 按量子力学的势垒穿透理论（l=0,一维问题），α 粒子穿透势垒的概率为(WKB 方法) ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧−== − ∫ P rErV RR G d])([2 2 expe c d - μ h ⎪⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ −= − ∫ rE r R eZZ R d 4 2 2 exp 1/2 d 0 2 21 c πε μ h 式中，μ为α 粒子与子核的折合质量， Rc： Ed＝V(Rc)= c0 2 21 4 R eZZ πε ， d0 2 21 c 4 E eZZ R πε = ， 显然： = cdc // RREV
下面推导出表变常量和能量Ea的关系 G 2 2122 eada 4Ta 2√2uE R 对积分号下作变量变换,令 x= arccos R (推导) 则 2R、2uE h x(r)--sin2x(r) 2R、2E h 其中 R R arcc RR2)2 R R RR 可见G是(R的函数。也就是E的函数,使用时可查图表
下面推导出衰变常量 λ和能量 E d的关系。 rE r eZZ G R R d 4 2 2 1/2 d 0 2 21 c ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − πε μ h r r E R R R d1 22 c 2/1 d c ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − h μ 对积分号下作变量变换，令 2/1 c arccos ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = R r x （推导） 则 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − )(2sin 2 1 )( c 22 d RxRx ER G h μ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = c c d 22 R ER R ψ μ h 其中 2/1 2 c 2 c 2/1 c c arccos ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ R R R R R R R R ψ 可见 G 是 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Rc R 的函数。也就是 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ c d V E 的函数，使用时可查图表
R 由于(或p)通常不大于3,在一级近似下 1/2 R R l/2 2R√2ExR .2R R 为了便于和实验作比较,式可写为 2(z-2)e24e[(z-2)R]2 28h/E VIE h 于是a粒子穿透势垒的概率成为 P=c)√(z-224e[(z-2)R2 2EohyEC 衰变常量 a=nP 令R'为母(R≈R)核半径,U为a粒子在子核内运动的速度,则 2R′ 得衰变常量a与能量Ed的关系式 2(Z-2)e24e[u(Z-2)R2 exp 2R 26h√Ed Te h
由于 c d V E （或 Rc R ）通常不大于 13 ，在一级近似下 2/1 c c 2 2 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ −≈⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ RR RR π ψ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − 2/1 c c d 2 2 22 R ER R G μ π h 为了便于和实验作比较，式可写为 h 0 h 2/1 d0 2 ])2([4 2 )2(2 πε μ ε μ RZe E eZ G − − − = 于是α 粒子穿透势垒的概率成为 ⎪⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ − + − −= h 0 h 2/1 d0 2 ])2([4 2 )2(2 exp πε μ ε μ RZe E eZ P 衰变常量 λ=nP 令 R′为母（ R ≈ R ' ）核半径，υ为α 粒子在子核内运动的速度，则 R n ′ = 2 υ 得衰变常量λ与能量 Ed 的关系式 ⎪⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ − + − − ′ = h 0 h 2/1 d0 2 ])2([4 2 )2(2 exp 2 πε μ ε υ μ λ RZe E eZ R
1/2 Z1Z2Iav2uc 32auc ZZ2R exp 2R C 对于238U: Z1Z2Iav2, 32aHc2Z, Z2 ≈28
⎪⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − = 2/1 21 2 d 2 21 2/1 2 0 2 32 exp )(2 2 c RZZc E cZZ c VE Rc d h μπα αμ μ λ 28 32 ,2502 21 2 2 21 ≈ ≈ c ZZc cZZ h αμ μπα 对于238U：
或写作对数形式 logλ=log 2(2-2)e24etp(Z-2)R]2 lo 2R 2Eh√E 丌E0h =log 2(Z-2)e2,4e[m(Z-2)Ry2 2R46Eh√E 2.3√/zEh A-Bed 其中, A=log U 4elu(z-2)r/2 2(z-2)e2 B 2R 23√丌Enh 4.6E n的估算 v_|2(E+V) ,R=1454fm, 对3U,v-10°cm/s,R~1042cm,n-1021/s 对不同核和不同a衰变能,n变化不大。 魏2R与G因子相比,可视为常量。从而A,B对同一元素可视为常量。这样,由a衰变 子得到的公式和对偶偶核得出的实验规律式完全一样
或写作对数形式： e RZe E eZ R log ])2([4 2 )2(2 2 loglog 0 2/1 d0 2 ⎪⎭⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧ − − − −′ = h πε h μ ε υ μ λ h h0 2/1 d0 2 3.2 ])2([4 6.4 )2(2 2 log πε μ ε υ μ RZe E eZ R − + − −′ = 2/1 d − −= BEA 其中， h0 2/1 3.2 ])2([4 2 log πε υ μ RZe R A − + ′ = ， h0 2 6.4 )2(2 ε μ eZ B − = n 的估算 2 1 2 0 )(2 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + = c VE cv dμ ，R’=1.45A1/3 fm, 对 238U，v~109 cm/s, R’~10-12 cm，n~1021 /s 对不同核和不同α衰变能，n 变化不大。 n = R′ 2 υ 与 G 因子相比，可视为常量。从而 A，B 对同一元素可视为常量。这样，由α 衰变 理论得到的公式和对偶偶核得出的实验规律式完全一样
讨论 a)减或T1n(T12=0.693/4)对Ea的依赖非常强烈(指数关系) = exp[In10·(4-6 显然,Ea增大时,元也增大,Tna减小。 例: 的a衰变 A ea(Mev) T2(s) 测量 计算 8.95 10 3.3x10 222 8.13 2.8x10 63x103 224 731 04 3.3x10 226 6.45 1854 6.0x10 228 5.52 6.0x10 24x10 47725x1 10x10 232(稳定) 4.08 44x1017 2.6x1016 在102变化范围内,计算的不准确度在102范围 b)减或T1n(T1n2=0.693/孔)对R的依赖也很强烈 R增大时,增大,T1a减小。 例:A-230的核,R变化4%(1253→120A43 变化5倍左右。 可以用的测量来准确的定出R
讨论： a) λ或 T1/2（T1/2=0.693/λ）对 Ed的依赖非常强烈（指数关系） )](10exp[ln Ed B λ A −⋅= 显然，Ed 增大时，λ也增大，T1/2减小。 例： Th A90 的α 衰变 A Ed(MeV) T1/2(s) 测 量 计 算 220 8.95 10-5 3.3 x 10-7 222 8.13 2.8 x 10-3 6.3 x 10-5 224 7.31 1.04 3.3 x 10-2 226 6.45 1854 6.0 x 10 228 5.52 6.0 x 107 2.4 x 106 230 4.77 2.5 x 1012 1.0 x 1011 232（稳定） 4.08 4.4 x 1017 2.6 x 1016 在 1020变化范围内，计算的不准确度在 102范围。 b) λ或 T1/2（T1/2=0.693/λ）对 R 的依赖也很强烈 R 增大时，λ增大，T1/2 减小。 例：A~230 的核，R 变化 4%( 3/1 3/1 A → 20.125.1 A ) λ变化 5 倍左右。 可以用λ的测量来准确的定出 R
思考题:许多重核是椭球形状的。如果这种核发射a粒 子,问从哪个方向发射的概率比较大? 5.禁戒因子 本位垒穿透公式成功地解释了a衰变的一些规律,特别是对偶偶核基态之间的a衰 变,定量上符合得相当好。但是,对其它情形,尤其是奇奇核的a衰变,理论和实验 数据的比较在定量上出现了严重分歧。通常引入所谓禁戒因子F来描写这种分歧,它 等于实验测得的半衰期Tsp与理论值T之比,即 或以衰变常量λ的理论值与实验值λxp之比来表示 F 对奇A核,F一般在100~1000范围;奇奇核的F则更大,个别核的禁戒因子高达1014 现就理论与实验分歧的原因讨论下面两个问题: (1)角动量的影响 公式是在假设a粒子带走的轨道角动量l0时推导出来的。如果b0,r>R时的 (应为库仑势能V(r)与离心势能V(r)之和,即 (r)=(r)+V/(r) 2(z-2)e2,l(+1)h2 4 t 2H r>p 于是此时势垒高度要比=0时高,而且l越大势垒越高,从而a衰变概率越小
思考题：许多重核是椭球形状的。如果这种核发射α粒 子，问从哪个方向发射的概率比较大？ 5．禁戒因子 位垒穿透公式成功地解释了 α 衰变的一些规律，特别是对偶偶核基态之间的 α 衰 变，定量上符合得相当好。但是，对其它情形，尤其是奇奇核的 α 衰变，理论和实 验 数据的比较在定量上出现了严重分歧。通常引入所谓禁戒因子 F 来描写这种分歧， 它 等于实验测得的半衰期 Texp与理论值 Tth 之比，即 thexp = / TTF 或以衰变常量 λ的理论值 λth 与实验值 λexp之比来表示 expth F = λ / λ 对奇 A 核， F 一般在 100~1000 范围；奇奇核的 F 则更大，个别核的禁戒因子高达 1014。 现就理论与实验分歧的原因讨论下面两个问题： （ 1）角动量的影响 公式是在假设 α 粒子带走的轨道角动量 l=0 时推导出来的。如果 l≠ 0， r>R 时的 V( r )应为库仑势能 Vc( r )与离心势能 Vl( r)之和，即 2 2 0 2 c 2 )1( 4 )2(2 )()()( r ll r eZ l rVrVrV πε μ + h + − =+= r > R 于是此时势垒高度要比 l=0 时高，而且 l 越大势垒越高，从而 α 衰变概率越小
但是离心势垒的影响不会很大。这是由于Vr)V(r)。事实上, 7(R) l(+1)h2_1(1+1)(hc) l(+1) (Mev) 2AR 2u 10 l=3,V(R)≈1MeV,而库仑势垒一般大于20MeV,计算表明,角动量对衰变概率的影 响通常不会改变数量级的大小,表5-4中列了对Z=90,E=45MeV时的角动量对a衰 变概率的影响。 表5-4角动量对a衰变概率的影响 L 2 4 5 6 410.840.600.360.180078008 2)形成因子的影响 另一条件是假设a粒子在a衰变前就存在于核内。实际情况可能不是这样,而是a 粒子在衰变过程中才形成的。若设形成a粒子的概率为k,那么 2=knp=k-P 2R k称为形成因子。由于k≤1,于是依k值的不同,a衰变就有可能出现不同程度的禁戒。 而k值的大小与原子核结构有密切关系,两者之间的联系规律如何,至今还没有了解清 楚
但是离心势垒的影响不会很大。这是由于 Vl(r) « Vc(r)。事实上， )MeV( 10 )1( 2 ))(1( 2 )1( )( 22 2 2 2 + ≈ + = + = ll Rc cll R ll l RV μ μ h h l ＝ 3，Vl(R)≈1 MeV，而库仑势垒一般大于 20 MeV，计算表明，角动量对衰变概率的影 响通常不会改变数量级的大小，表 5-4 中列了对 Z ＝90，E ＝4.5 MeV 时的角动量对 α 衰 变概率的影响。 表 5-4 角 动 量 对 α 衰 变 概 率 的 影 响 L 0 1 2 3 4 5 6 λl/λ0 1 0.84 0.60 0.36 0.18 0.078 0.028 （ 2）形成因子的影响 另一条件是假设 α 粒子在 α 衰变前就存在于核内。实际情况可能不是这样，而是 α 粒子在衰变过程中才形成的。若设形成 α 粒子的概率为 k，那么 P R kknP ′ == 2 υ λ k 称为形成因子。由于 k ≤ 1，于是依 k 值的不同， α 衰变就有可能出现不同程度的禁戒。 而 k 值的大小与原子核结构有密切关系，两者之间的联系规律如何，至今还没有了解清 楚
