1-2 實數 的完備 性
1 - 2 實 數 的 完 備 性
S bound. Ⅱ.I.SupS inR I.D切 -Ⅱ.Inf S inR A≠中≠B,AOB=克，AUB=R B 6) 阴區問 Ⅲ亚 Couchy教列ha-a,<E V江-I。晰增载列a)个 v.lab]=C. -Ⅱ
D-切 B A=(-c0.a).la,c)=B ●o A=(o,a,(a,∞)=B
• • • • • • • • • • • • • • • N A 有理切 無理切 B • A = ( − ,a ),a, ) = B A = ( − ,a,( a, ) = B D - 切 •
定義 談得金切(Dedekind Cut),又簡稱“切”，是指對有理數集a做 一割分成雨個子集A,B,並滿足下列性質： 1. A∩B=,a=AUB,即每一個有理數不是屬於A就是屬 於B,但不可能同屬於A及B 2.A中的每一個元素都小於B中的每一個元素 3.A≠中及B本中即A,B皆為非空子集
1. ，即每一個有理數不是屬於A 就是屬 於B，但不可能同屬於A 及 B 2. A 中的每一個元素都小於B 中的每一個元素 3. 及 ， 即 A, B 皆為非空子集 定 義 談得金切 (Dedekind Cut)，又簡稱“切”，是指對有理數集a 做 一劃分成兩個子集A, B，並滿足下列性質： A B = ,a = A B A B
1.集A中有一最大的元素，集B中有一最小的元素（不可能） 2.集A中有一最大的元素，集B中無一最小的元素 3.集A中無最大的元素，集B中有一最小的元素 4.集A中無最大的元素，集B中無最小的元素
1. 集 A 中有一最大的元素，集 B 中有一最小的元素 （不可能） 2. 集 A 中有一最大的元素，集B 中無一最小的元素 3. 集 A 中無最大的元素，集B 中有一最小的元素 4. 集 A 中無最大的元素，集B 中無最小的元素
定義 所謂一個實數就是相應一個定在有理數集上的一個“切” 定 義 所調的無理數就是相應一個定在有理數集上的一個“切”(4，B) 使得A中無最大元素，而B中無最小元素者
定 義 所謂一個實數就是相應一個定在有理數集上的一個 “切” 定 義 所謂的無理數就是相應一個定在有理數集上的一個 “切” (A, B) 使得 A 中無最大元素，而B 中無最小元素者
實數集上的“切” 定義 R=AUB且A∩B≠中（即R分成雨個互不相交的集·A 與B) A中每一元素皆小於B中的任一元素 A≠，B≠（即A與B皆為非空集合）
1. 且 （即 R 分成兩個互不相交的集，A 與 B） 2. A 中每一元素皆小於B 中的任一元素 3. （即 A 與 B 皆為非空集合） 實數集上的 “切” 定 義 R = A B A B A , B
設(A,B)為實數集R上的一個“切”，則或A中有一最大元素或 B中有一最小元素 證 設T,表所有A中的有理數的集合，T2表所有B中的有理數的集 明 合，則(T,T)為定在所有有理數集上的一個”切” 定一實數Y=(亿，工2)》 對任何c∈A及c≠y時y>c成立 對任何b∈B而b≠y則y<b成立 且AUB=R,y∈R 故？或為B中最小的元素，或為A中最大的元素
I 設 (A, B) 為實數集 R 上的一個“切”，則或A 中有一最大元素或 B 中有一最小元素 證 明 設 T1 表所有A 中的有理數的集合，T2表所有B 中的有理數的集 合，則(T1 , T2 ) 為定在所有有理數集上的一個”切” 定一實數 對任何 及 時 成立 對任何 而 則 成立 且 故 γ 或為 B 中最小的元素，或為A 中最大的元素 ( ) 1 2 = T ,T c A c c bB b b A B = R, R
定義 設S是實數集R的一個非空子集 1.若有一實數r,使得S中的每個實數x都滿足x≤r, 則稱S有上界(bounded above),而r稱為S的一個上界 (upper bound) 2.若有一實數s,使得S中的每個實數x都滿足x≥S, 則稱S有下界(bounded below),而s稱為S的一個下界 (lower bound) 3.若集合S既有上界、又有下界，則S稱為有界集合 (bounded set)
定 義 設 S 是實數集R 的一個非空子集 1. 若有一實數r，使得S 中的每個實數x 都滿足 ， 則稱 S 有上界(bounded above)，而r 稱為 S 的一個上界 (upper bound) 2. 若有一實數s，使得S 中的每個實數x 都滿足 ， 則稱 S 有下界(bounded below)，而s 稱為 S 的一個下界 (lower bound) 3. 若集合S 既有上界、又有下界，則S 稱為有界集合 (bounded set) x r x s
定義 設S是實數集R的一個非空子集 1. 若實數b是S的一個上界，而且比b小的每個實數都不是 S的上界，則b稱為S的最小上界(least upper bound or supremum)S的最小上界以spS表之 2.若寶數c是S的一個下界，而且比c大的每個實數都不是 S的下界，則c稱為S的最大下界(greatest lower bound or infimum)S的最大下界以imfS表之 例 對於任意二實數a與b,a<b,區間(a,b)、[a,b)、(a,b] 與[a,b]都是有界集合，其最小上界都是b,最大下界都是a
定 義 設 S 是實數集 R 的一個非空子集 1. 若實數 b 是 S 的一個上界，而且比b 小的每個實數都不是 S 的上界，則 b 稱為 S 的最小上界 (least upper bound or supremum) S 的最小上界以sup S 表之 2. 若實數 c 是 S 的一個下界，而且比c 大的每個實數都不是 S 的下界，則 c 稱為 S 的最大下界 (greatest lower bound or infimum) S 的最大下界以 inf S 表之 例 對於任意二實數a 與 b，a < b，區間 (a, b)、[a, b )、(a, b] 與 [a, b] 都是有界集合，其最小上界都是b，最大下界都是a