第三章动量 中国科学技术大 有了力的定律和运动定律,动力学的根本任务,即在一定环境 下 求物体的运动问题,似乎就成为求解运动方程的数学问题了。其 实,并非完全如此。 如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理 量,如动量、能量和角动量等,就可进而得到关于这些量的新的规 律(包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律),而直接用这些 规律去分析质点的运动间题,往往比从运动定律出发更为方便 在力作为位置(或速度、时间)函数的具体形式不十分清楚的 学题情况下(约束力和碰撞中的力就是例子),这种方法也能为我们求 解问题提供一定的信息。 利用关于动量,能量和角动量的规律,却可以使我们获得关于 杨质点系运动的许多知识 维 即使在牛顿定律不一定适用的许多场合,包括微观领域,守恒 纮回定律仍然有效。这样,原来仅仅作为牛顿定律铺助工具而引入的运 动定理的推论一守恒定律,却成为比牛顿定律更为基本的规律
第三章 动 量 有了力的定律和运动定律，动力学的根本任务，即在一定环境 下求物体的运动问题，似乎就成为求解运动方程的数学问题了。其 实，并非完全如此。 如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理 量，如动量、能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规 律（包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律），而直接用这些 规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。 在力作为位置（或速度、时间）函数的具体形式不十分清楚的 情况下（约束力和碰撞中的力就是例子），这种方法也能为我们求 解问题提供一定的信息。 利用关于动量，能量和角动量的规律，却可以使我们获得关于 质点系运动的许多知识。 即使在牛顿定律不一定适用的许多场合，包括微观领域，守恒 定律仍然有效。这样，原来仅仅作为牛顿定律辅助工具而引入的运 动定理的推论——守恒定律，却成为比牛顿定律更为基本的规律。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第三章动量 §3.1动量守恒定律与动量定理 术》32质心运动定理 学533变质量物体的运动 杨维
§3.1 动量守恒定律与动量定理 §3.2 质心运动定理 §3.3 变质量物体的运动 中 第三章 动 量 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
中93.1动量守恒定律与动量定理 国 科 学 技 3.1.1孤立体系与动量守恒定律 术 大3.1.2冲量与质点的动量定理 学 3.1.3质点系动量定理 杨 维 纮
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律 3.1.2 冲量与质点的动量定理 3.1.3 质点系动量定理 中 §3.1 动量守恒定律与动量定理 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
§3.1动量守恒定律与动量定理 国 科)庸31孤立体系与动量守恒定律 学 技 前面两章,我们讨论的是单个质点的运动。在这一 术影章里,我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。 大湖这种问题,常称为质点系问题,或多体问题。 学 在质点系中有一类是特别的,即所有质点都没有受 到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说,整个体 杨系不与外物相互作用,这种质点体系称为孤立体系。 维
§3.1 动量守恒定律与动量定理 3.1.1 孤立体系与动量守恒定律 前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。在这一 章里，我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。 这种问题，常称为质点系问题，或多体问题。 在质点系中有一类是特别的，即所有质点都没有受 到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说，整个体 系不与外物相互作用，这种质点体系称为孤立体系。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
中昌3.11孤立体系与动量守恒定律 国 m1,= 科 学 m12=f, 技 dt 术 大 ,(m1v1+m2v2)=0 图3.1两质点体系 dt 学题定义 =m1V1+m2 杨 得: =0 dt 或P=不变量 维 此式表明,对于两个质点构成的孤立体系,我们找 纮回到了一个不变量P,称它为动量
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律 21 2 2 12 1 1 f v f v = = dt d m dt d m 12 21 f = −f (m1 v1 + m2 v2 ) = 0 dt d 定义： P = m1 v1 + m2 v2 = 0 dt dP 得： 或 P =不变量 此式表明，对于两个质点构成的孤立体系，我们找 到了一个不变量 P，称它为动量。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
中昌3.11孤立体系与动量守恒定律 国在上述推导过程中,我们并没有用到作用力的具体 科形式,只用了牛顿第二、三定律,所以,这个守恒律是 学固非常普遍的,与作用力的具体形式无关,对于任何力都 对于多个质点所构成的孤立体系,可以用完全类似 技术大学杨维 2的方法证明体系的总动量不随时间变化,我们将它称为 动量守恒定律,表述如下: 在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中,每 个质点的动量都时刻在变,但它们的矢量和不变 P=∑P=不变量 纮圆其中P是第1个质点的动量
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律 在上述推导过程中，我们并没有用到作用力的具体 形式，只用了牛顿第二、三定律，所以，这个守恒律是 非常普遍的，与作用力的具体形式无关，对于任何力都 适用。 对于多个质点所构成的孤立体系，可以用完全类似 的方法证明体系的总动量不随时间变化，我们将它称为 动量守恒定律，表述如下： 在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中，每 个质点的动量都时刻在变，但它们的矢量和不变。 P =Pi =不变量 其中 Pi 是第 i 个质点的动量。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
中昌3.11孤立体系与动量守恒定律 国 几点说明 科 学 1.与牛顿定律一样,动量守恒定律只适用于惯性系。 技。2.体系动量守恒并不是要求体系不受外力,只要所受 术 外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然 大 守恒,故孤立体系的动量守恒。 学题3.动量守恒是矢量式,它可以写成三个分量式 若Fx=0,则P3=常量; 杨维 若F=0,则P=常量; 若F=0,则P=常量;
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律 几点说明： 1. 与牛顿定律一样，动量守恒定律只适用于惯性系。 2. 体系动量守恒并不是要求体系不受外力，只要所受 外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然 守恒，故孤立体系的动量守恒。 3. 动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式： 若Fx = 0， 则 Px = 常量； 若Fy = 0， 则 Py = 常量； 若Fz = 0， 则 Pz = 常量； 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
中昌3.11孤立体系与动量守恒定律 国 几点说明 科周4.动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出,但它比牛 学 技 顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立 时,只要计及场的动量,动量守恒定律仍然成立 术 这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律,而直接 大么从空间的平移不变性(一种时空对称性)导出。时空对 学额称性原理是比牛顿定律更高层次的定律,我们将在下 章中讨论 杨维
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律 几点说明： 4. 动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛 顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立 时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。 这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律，而直接 从空间的平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对 称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，我们将在下一 章中讨论。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
3.12冲量与质点的动量定理 国 力作用到质点上,可以使质点的速度或动量发生变 科川化,我们将牛顿第二定律写成微分形式即: 学 Fdt=dp 技式中如表示质点动量的改变量,FM表示合外力在M时 术 间内的积累量。称为山时间内质点所受合外力的冲量 大 (又称为元冲量),记为dJ,即:dJ=Fot 学 上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一 4时间内质点动量的增量,这一关系叫做质点动量定理的 杨□微分形式。实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。 维 纮
3.1.2 冲量与质点的动量定理 力作用到质点上，可以使质点的速度或动量发生变 化，我们将牛顿第二定律写成微分形式，即： Fdt = dp 式中 dp 表示质点动量的改变量，Fdt表示合外力在 dt 时 间内的积累量，称为 dt 时间内质点所受合外力的冲量 （又称为元冲量），记为dJ，即： dJ = Fdt 。 上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一 时间内质点动量的增量，这一关系叫做质点动量定理的 微分形式。实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
中 3.12冲量与质点的动量定理 国 科 对(到t这段有限时间积分,即考虑力在某段时间 学目内的积累效果,则有: 技 =∫r=p1-po 个身式中J表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。 术 上 式称为质点动量定理的积分形式 学 值得注意的是,要产生同样的动量增量,力大力小都可以,力 大,时间可以短些,力小,时间需长些。只要力的时间积累冲量 杨,就产生同样的动量增量 动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间 维□很短的过程。在这一过程中,相互作用力往往很大而且随时间改变, 然这种力通常叫做冲力。关于碰撞的研究我们留到下章进行。 在相对论中,质量随速率而变,F=ma已不再正确 但Fat=φ仍然正确
3.1.2 冲量与质点的动量定理 对 t0 到 t1 这段有限时间积分，即考虑力在某段时间 内的积累效果，则有： 1 0 1 0 J = F = p − p dt t t 式中 J 表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。 上式称为质点动量定理的积分形式。 值得注意的是，要产生同样的动量增量，力大力小都可以，力 大，时间可以短些，力小，时间需长些。只要力的时间积累冲量一 样，就产生同样的动量增量。 动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间 很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变， 这种力通常叫做冲力。关于碰撞的研究我们留到下章进行。 在相对论中，质量随速率而变，F = m a 已不再正确， 但Fdt = dp仍然正确。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮