派动和波 第七章振动和波 国 科 人们习惯于按照物质运动的形态,把经典物理学 学 分成力(包括声)、热、电、光等子学科。然而,某 技些形式的运动是横跨所有这些学科的,其中最典型的 术 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波,在 电学中有电磁振荡和电磁波,声是一种机械波,光则 大 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 学 波,仅从微观理论的基石—量子力学又称波动力学 这一点就可看出,振动和波的概念在近代物理中的重 杨 要性了。尽管在物理学的各分支学科里振动和波的具 体内容不同,在形式上它们却具有极大的相似性。所 维 以,本章的意义绝不局限于力学,它将为学习整个物 纮 理学打基础
第七章 振动和波 人们习惯于按照物质运动的形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。尽管在物理学的各分支学科里振动和波的具 体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所 以，本章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物 理学打基础。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 第七章振动和波 中国科学技术大学杨维 §7.1简谐振云 §7.2阻尼振动 §7.3受迫振动与共振 §7.4二自由度振动 §7.5机械波 §7.6波在空间中的传播 §7.7波的叠加 §7.8多普勒效应 §7.9非线性波简介
第七章 振动和波 §7.1 简谐振动 §7.2 阻尼振动 §7.3 受迫振动与共振 §7.4 二自由度振动* §7.5 机械波 §7.6 波在空间中的传播 §7.7 波的叠加 §7.8 多普勒效应 §7.9 非线性波简介 中国科学技术大学杨维纮
派动和波 §7.1简谐振动 中国科学技术大学杨维 7.1.1平衡与振动 7.1.2恢复力与弹性力 7.1.3简谐振动的描述 7.1.4谐振子的能量 7.1.5振动的合成与分解
7.1.1 平衡与振动 7.1.2 恢复力与弹性力 7.1.3 简谐振动的描述 7.1.4 谐振子的能量 7.1.5 振动的合成与分解 中 §7.1 简谐振动 国科学技术大学杨维纮
派动和波 中 §7.1简谐振动 国 科)庸7..1平衡与振动 学 技 处于静止状态的物体, 术我们称之为平衡,此时物体 测不受力或所受的合力为零。 大如果处于平衡位置的物体受)稳定平衡()不稳平衡 学到某种扰动而离开了平衡位 置,则我们根据该物体以后 杨□能否保持平衡而将平衡分为 以下四种:稳定平衡、亚稳 维国平衡、不稳平衡和随遇平衡, (c)亚稳平衡(d)随遇平衡 纮如图71所示。 图7.1平衡的种类
§7.1 简谐振动 7.1.1 平衡与振动 处于静止状态的物体， 我们称之为平衡，此时物体 不受力或所受的合力为零。 如果处于平衡位置的物体受 到某种扰动而离开了平衡位 置，则我们根据该物体以后 能否保持平衡而将平衡分为 以下四种：稳定平衡、亚稳 平衡、不稳平衡和随遇平衡， 如图7.1所示。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 §7.1简谐振动 中国科学技术 7.1.1平衡与振动 我们仅讨论处于稳定 8衡(严格地说,稳定平 大衡是理想情况,绝对的稳a)稳定平衡()不稳平衡 学感定平衡是没有的)或亚稳 平衡而扰动较小的情况, 此时物体将会发生振动 杨我们把振动的物体称为振 维子。 (c)亚稳平衡(d)随遇平衡 纮 图7.1平衡的种类
§7.1 简谐振动 7.1.1 平衡与振动 我们仅讨论处于稳定 平衡（严格地说，稳定平 衡是理想情况，绝对的稳 定平衡是没有的）或亚稳 平衡而扰动较小的情况， 此时物体将会发生振动。 我们把振动的物体称为振 子。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国7.12恢复力与弹性力 国 图72的“弹簧振子”有一个平衡位置O,在那个位 科周置,弹簧既没有伸长也没有缩短,对物体不施加作用力, 学物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开,例如移到点, 技术 然后放手,拉长的弹簧有收缩的趋势,它施加于物体的 作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡 大位置移动的力叫作恢复力。 恢复力和惯性这一对矛盾 学题不断斗争,它们的作用交替消 Q O P 长,力学系统就在平衡位置左 杨右一定范围内来回振动。 图7.2弹簧振子 维
7.1.2 恢复力与弹性力 图7.2的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位 置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力， 物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到点， 然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的 作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡 位置移动的力叫作恢复力。 恢复力和惯性这一对矛盾 不断斗争，它们的作用交替消 长，力学系统就在平衡位置左 右一定范围内来回振动。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国7.12恢复力与弹性力 国弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力,其大小正比于 科)弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律: 学 F=-kx 技式中x是物体对平衡位置的位移,k叫作弹性系数(或 个倔强系数),k越大表示弹簧越硬。 术 由胡克定律可知弹性力有两个特点: 学1.因为弹性力F的指向总与位移x的方向相反,故弹 性力F总是指向平衡位置,总是力图把质点拉回到 平衡位置; 杨2.因为F的数值大小正比于位移x的大小,所以物体 维 偏离平衡位置越远,则它受到的拉回平衡点的力也 纮 越大
7.1.2 恢复力与弹性力 弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于 弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律： F = −kx 式中 x 是物体对平衡位置的位移，k 叫作弹性系数（或 倔强系数），k 越大表示弹簧越硬。 由胡克定律可知弹性力有两个特点： 1. 因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹 性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到 平衡位置； 2. 因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体 偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也 越大。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中 7.12恢复力与弹性力 国 除了弹簧外,其他的力 科)也可能具有(71)式的形式 学如图73所示的单摆,如将小 技∥球从平衡位置拉到点再松手, 小球将在平衡位置点附近往 术 2复摆动。它的结构虽与上述 大多弹簧振子完全不同,但它们 图7.3单摆振子 学题的运动性质是十分相似的。 F=- mg sin 6≈-mgb 杨式中负号表示F与角位移方向相反。 维 可见,单摆所受的虽不是弹性力,但(712)式在形式 纮墨上与(711)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表 达式的力,叫做准弹性力
7.1.2 恢复力与弹性力 除了弹簧外，其他的力 也可能具有(7.1.1)式的形式。 如图7.3所示的单摆，如将小 球从平衡位置拉到点再松手， 小球将在平衡位置点附近往 复摆动。它的结构虽与上述 弹簧振子完全不同，但它们 的运动性质是十分相似的。 F = −mg sin −mg 式中负号表示 F 与角位移方向相反。 可见，单摆所受的虽不是弹性力，但(7.1.2)式在形式 上与(7.1.1)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表 达式的力，叫做准弹性力。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国7.12恢复力与弹性力 国 准弹性力的实例,还可以举出许多。例如琴弦的颤 科)动,树木的摇曳,分子的振动等,都是在准弹性力作用 学 下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动,大 技都是准弹性力作用下的运动。 术 大 现在我们来证明:一维保守力在稳定平衡位置附近 学 定是准弹性力。 杨 维 纮
7.1.2 恢复力与弹性力 准弹性力的实例，还可以举出许多。例如琴弦的颤 动，树木的摇曳，分子的振动等，都是在准弹性力作用 下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动，大 都是准弹性力作用下的运动。 现在我们来证明：一维保守力在稳定平衡位置附近 一定是准弹性力。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国7.12恢复力与弹性力 国定理:一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 科)证:设F(x)是保守力,则它具有势能(x) 把势能函数Ⅳ(x)在平衡点x0附近作泰勒展开 学技术大学杨维 V(x)=vot dx x=xo (x-x0)+ x-xo)2+ 2 dx X03 因F(x)=-aVlt,x是平衡点,在该点有f(xo)=0,故 V(x)=vo+ (x-x0)2+ 2 dx X-xo F(x)= (x-x0)+ x=x
7.1.2 恢复力与弹性力 定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 证：设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。 把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开 = + − + − + = = 2 2 0 2 0 0 ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 0 x x dx d V x x dx dV V x V x x x x 因F(x) =﹣dV /dt, x0 是平衡点，在该点有F(x0 ) = 0，故 = + − + = 2 2 0 2 0 ( ) 2 1 ( ) 0 x x dx d V V x V x x = − = − − + = ( ) ( ) 2 0 2 0 x x dx d V dx dV F x x x 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮