第一章概论 计算流体力学在近二三十年中有了突飞猛进的发展,而且正 在以更快的速度前进。推动这一发展的原因,一方面是实际问 的需要,特别是宇航事业的需要;另一方面是计算技术的飞速发 展和巨型计算机的出现。 计算流体力学是多种领的交叉学科,亡所涉及的学科有流 休力学、偏徼分方程的数学理论、计算儿何、教值分析、计算机 科学等。它的发展促进了这些学科的进一步发展。最终体现计算 流体力学水平的是解决实际问题的能力。 本书的基本内容是采用差分方法、数值求解可压缩纳维-斯 托克斯( Navier-Stokes)方程(以下简称为N-S方程)和箭化 N-5方程,研究流体运动规律,重点是超声速、高超声速定常 粘性绕流流场的教值模拟 第--节计算流体力学与数值模拟 任何流体运动的规律都是由以下3个定律为基础的:质量守 恒定律;动量恒定律和能量守恒定律。这些基本定律可由数学 方程组来描述,如欧拉(Eu1er)方程,N-S方程。采用数值计算 方法,通过计算机求解这些数学方程,研究流体运动特性,给出 流体运动空间定常或非定常流动规律,这样的学科就是计算流体 力学。 计算流体力学的兴起推动了研究工作的发展。自从1687年 牛顿定律公布以来,直到本世纪50年代初、研究流体运动规律的 主要方法有两种:·是实验研究,它以地面实验为研究手段;另 种是理论分析方法,它利用简单流动模型假设,给出所研究问
题的解析解。理论工作者在研究流体运动规律的基础上建立了各 类型主控方程,提出了各种筒化流动模型,给出了一系列解析解 和计算方法。这些研究成果推动了流体力学的发展,奠定了今天 计算流体力学的基础,很多方法仍是目前解决实际问题时常采用 的方法。然而,仅采用这些方法研究较复杂的非线性流动现象是 不够的,特別是不能满足50年代已开始高速发展起来的宇航飞行 器绕流流场特性研究的需要 计算流体力学的兴起促进了实验研究和理论分析方法的 发展,为简化流动模型的建立提供了更多的依据,使很多分析方 法得到发展和完善,例如目前在飞机工业中应用疒泛的面元法就 是一个很好的例子。然而,更重要的是计算流体力学采用它独有 的新的研究方法—数值模拟方法——研究流体运动的基本物理 特性。这种方法的特点如下:①给出流钵运动区域内的离散解 而不是熊析解。这区别于一般理论分析方法;②它的发展与计算机 技术的发展直接相关。这是因为可能模拟的流体运劬的复杂程度 解决问题的广度和所能模拟的物理尺度以及给出解的精度,都与 计算机速度、内存、视算及输出图形的能力直接相关;③若物理 问题的数学提法(包括数学方程及其相应的边界条件)是正确的, 则可在较广泛的流动参数(如马赫数、雷诺数、飞行高度、气体 性质、模型尺度等)范围内研究流体力学问题,且能给出流场参 数的定量结果。这常常是风洞实验和理论分析难以作到的。然而, 要建立正确的数学方程还必须与实验研究相结合。更重要的是实 际问题中所求解的多维非线性偏微分方程组十分复杂,其数值解 的现有数学理论尚不够充分。严格的稳定性分析,误差估计和收 敛性理论的发展还跟不上数值模拟的进展。虽然关于广义解唯 性存在性等问题的严格数学理论已取得了长足的进展,但还不足 以对一些感兴趣的具体的复杂问题给出明确的回答。所以在计算 流休力学中,仍必须依靠一些较简单的、线性化的、与原问题有 密切关系的模型方程的严格数学分析,以及依靠启发性的推理给 出所求解间题的数值解的理论依据。然后再依靠数值实验,地面实
验和物理特性分析,验证计算方法的可靠性,从而进一步改进计 算方法。 事实上,实验研究、理论分析方法和数值模拟是研究流体运 动规律的三种基本方法,它们的发展是相互依赖相互缇进的。 另一方而,计算流体力学的发展进程是伴随着计算机技术的 发展而前进的。一般来说,只有计算机的速度、内存和外围设备 达到一定程度时才会有计算流体力学新阶段的出现。随着计算技 术的提高、巨型计算机的出现,计算流体力学所研究问题的深度 和广度不断发展,它不但可用于研究已知的一些物理问题,而且 可用于发现新的物理现象。例如甘贝尔( Campbel1)和穆勒 丶 Mueller)等人在数值实验中,发现了亚声速斜坡绕流中的分离 现象(),以后他们在风洞实验中作了证实;又如基姆(Kim)和 莫因(Moin)等人在数值计算中发现了倒马蹄涡。,后来被实 验研究所证实。其研究领域也随着计算机的速度和内存的增加而 不断扩大。例如文献“中采用64个节点机构成的NSC计算机,求 解非定常不可压N-S方程,直接数值模拟各向同性湍流,得到 了较好的结果。这使人们更清楚地了解到采用直接数值模拟的方 法与实验研究相结合是突破多年来未能解决的流体力学关键问题 湍流阎题的重要方法 总之,计算流体力学的兴起促进了流体力学的发展,改变了 流体力学研究工作的状况,很多愿来认为难以解决的间题,如超 声速、高超声速钝体绕流,分离流涡运动、低密度效应、真实气 体效应以及湍流问题等,都有了不同程度的发展,且将为流体力 学研究工作提供新的前景。 第¨节计算流体力学的发展 计算流体力学首先是随着计算技术和宇航飞行器的发展而发 展且逐步形成独立学科的。计算机问世以前,研究工作的重点 是椭圆型方程的数值解。30年代中所研究的绕流流场是假设气体
的粘性和旋度效应可忽略不计,故流动的控制方程为拉普拉斯 ( Laplace)方程,求解的方法是基本解的迭加,也就是目前飞机工 业中广泛应用的面元法的前身。以后,为了考虑粘性效应,有了边 界层方程的数值计算方法,并发展为以位势流方程为外流方程,与 内流边界层方程相结合,通过迭代求解粘性干扰流场的计算方法。 同一时期,很多数学家研究了偏微分方程的数学理论。哈达乌德 〈 Hadamard),库朗( Courant),弗里德里克斯( Friedrichs), 彼得罗大斯基( HeT pbCκr真),索波列夫(Co6oπeB),梯赫诺￡ ( THXOHOB)等人研究了偏微分方程的基本特性、数学提法的透 定性、物理波的传播特性、解的光滑性和唯一性等问题,发展了 双曲型偏微分方程理论。以后,库朗,弗里德里克斯和菜维 (Lewy)等人发表了经典论文,证明了连续的椭圆型、抛物型 和双曲型方程组解的存在性和唯一性定理,且针对线性方程的初 值问题,首先将偏微分方程离散化,然后证明了离散系统收敛到 连续系统,最后利用代数方法确定了差分解的存在性。他们还讨 论了双曲型方程的特征性质,提出了特征线方法,给出了著名的 稳定性判別条件:CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论 基础。40年代中,冯诺伊曼( Von neumann),里希特迈尔 ( Richtmyer),霍普弗(Hopf),拉克斯(ax),奥列尼克 ( oJeheWk)和其他一些学者建立了非线性双曲型方程守恒律的 数值方法理论,为含有激披的气体流动数值模拟打下了理论 基础。 60年代中,基于双曲型方程数学理沦基础的时间相关方法开 始应用于求解宇航飞行器的气体定常绕流流场问题。这种方法的 基本思想是从非定常欧拉方程或非定常N-S方程出发,利用双 方程或双曲-抛物型方程的数学特性,沿时间方向推进求解, 由而得到对于时间纟趁近于无穷大的渐近解为所要求的定 常解。该方法虽然要求花费更多的计算机时,但因数学提法适定, 又有较妤的理论基础,且能模拟流休运动的非定常过程,故这是 应用范围较广的一般方法。以后由拉克斯(Lax)、克莱斯
( reiss)和其他著者给出的非定常偏微分方程差分通近的稳 定性理论,进一步促进了时间相关方法的发展。本求所描述的 基本方法是时间相关方法。另一类方法是针对…些具体问题发展 起来的特妹方法,用以求解非线性定常阿题。这些方法的特点是 简单、所需计算机时少.但这些方法只是局部性的特殊方法,例如 在50乍代中、60年代初针对钝头超声速绕流数值解所提出的 方法[~及本书中所讨论的1NS方程推进解法等 70年代在计算流体力学中、取得较大成功的是飞行器跨声速 绕流数值计算方法的研究。首先是穆尔曼( Auman)和科 (Coe)提出的计算方法1,解决了跨声速绕流中的混合型问题 他们采用松弛方法求解位势流小扰动方程,教偵模拟带激波的跨 声速绕流流场。在他们的工作中第一次将迎风格式应用于空气动 力学问题的数值模拟。不久以后詹姆生( Ja meson)1)提出了旋 转格式,将穆尔曼-科勒方法推广于求解二维跨声速绕流的全位 势流方程.获得了成功。目前这些方法已直接应用于飞机工业的 气动设计中。最近,詹姆生等人采用时问相关方法,给出了全机 跨声速三维无粘绕流流场的计算结果。他们提出了中心多层 格式2-14,采用龙格-库塔( Runge-Kutta)方法求解非定常 欧拉方程,數值模拟跨声速全机三维绕流流场。 70年代以来,计算流体力学中取得较大成功的另个领域是 采用时间相关方法,解可压缩N-S方程、数值模拟飞行器超 声速、高超声速點性绕流复杂流场的研究工作。针对流场中澈波 的数值模拟,近年来发展了高分辨率的差分格式,如总变差递嗖 格式(' otal Variation Diminishing Schere,以后翁称TⅤD 格式)、本质无跳动格式( Essen tially non- oscillatory schem 以后简称ENO格式)、守恒同族特征方法( Conservative Supra charecteristic method,以后简称CSCM方法)等,形成了第 代為分格式。这些格式的应用使得超占速、高超声速和跨宀速绕 流流场的计算方法冇了大剂改进。H前已可模拟包含有各科宏 尺度结构的非光滑流场,如包含有潋波、粘性干扰、分离韵,只实
6 气体效应等物理特性的流场,可利用巨型计算机.采用合适的网 格生成技术和有效的计算方法,求解非定常可压缩N-S方程. 数值模拟航天飞机整机的跨声速、超声速和高超声速粘性绕流 流场。 在网内,早在50年代就有了计算流休力学方面的研究工作。 早期的工作是研究钝头体超声速无粘绕流流场的数值解方法, 研究钝头休绕流数解的反方法5和正方法10。以后,随着我 国宇航事业的发展,超声速、高超声速绕流数值计算方法的研究 工作发展很快。首先开展了定常欧拉方程数值解的计算方法研究 给出了钝体超声速三维无粘绕流流场的计算结果(17~2.。70年 代中,开展了采用时间相关方法求解非定常欧拉方程,可压缩 N-S方程和简化N-S方程的计算方法研究。在差分格式的构造 方面,提出了求解欧拉方程的特征符号分裂方法28)和三层格 式22等。在可压缩N-S方程的求解中,计算方法有了较大的 进展,先后提出了开关函数方法、调解冈子方法14、紧致迎 风格式(38)、推进迭代方法7、无波动无自由参数的耗散格式 (Non Oscillatory Containing no free Parameters and dissi ative scheme,以后简称NN格式)8)、界值为限格式(Maxi mum and minimum Bounds preserving Scheme,以后简称 MB格式)4和耗散比拟方法6等。这些研究工作进一步改进 了计算方法精度,提高了求解效率,且对流场中激波的数值模拟 有较高的分辨能力。而且这些研究成果使得我们在计算流体力学 的差分方法研究工作中初步形成了自己的特点。很多作者釆用自 己提出的计算方法,求解可压缩N-S方程,给出了各种复杂流 场的计箅结果。如分离流流场,激波边界层干扰流场以及各种飞 行器的绕流流场等。在本书中将给出作者的部分计算结果 应当指出,近年来计算流体力学在我国发展很快,很多学者 作出了不少优秀成果。由于本书作者工作范闹所限,这果未能 提到
第三节计算流休力学中的几个问题 正如前面所述,本书所针对的实际问题主要是超声速高超声 速粘性绕流流场的数值模拟。这是复杂的非光滑流场,它包含有 激波、粘性干扰、分离涡等复杂物理现象。这些基本物理现案都 各具自身的特点,因此,其数值模拟对计算方法提出了各种需 解决的问题。 激波的数值模拟 对于非线性双曲型方程,如非定常欧拉方科,不管初始值如 何光滑,解可能是有间断的,对应的物理间题是流场中激波和切 向间断的产生这一特性使得非线性双曲型方程的求解有它特殊 的困难,流场屮激波的数值模拟成为计算流体力学中所研究的重 要问趣之 激波的数值模拟方法主要有两类:激波装法、激波捕 捉法。 一)激波装配法 这种方法的基本思想是将激波作为非连续的边界面来处理 C33。此方法的优点是计算精度高,而且在间断面处满足“熵 条件”,故可以认为所得到的数值解是唯一的物理解。然而它要 求所求的气体运动的流场结构为已知,这在大多数情況下是难 的,因为流场事先是未知的。近年来很多人采用混合方法.即对 」流场绪构清楚的地方釆用激波装配法,如钝体超声速绕流中 弓形头激波,而其他流场内的激波则采用激波捕捉法 二)激波捕捉法 这是日前应用最广的激波数值模拟方法。其基本思想不是将 激波分出来作为边界处理,而是采用合适的计算方法自动捕捉激 波、在激波和光滑区用统一的计算格式。最初人们采用…阶糈度 格式排捉激波、可得到过激波的单调解。然而因一阶精度的格式
具有较大的羌分耗散,使得差分解过激波的梯度被抹平,其物理 特性失真。而且在粘性绕流的计算中,过大的差分耗散将掩流 场中真实的物理耗散。二阶精度差分格式所给出的数值解在激波 附近将产生非物理的振动,且可能出现非物理的解。近年来的 研究工作使得这一问题有了突破性进展。人们认识到,为了正确 模拟流场中的激波,首先要求正确模拟激波处的间断条件,以便 得剑较准确削激波诬度为此差分格式必须是守恒型的。拉克斯 温德诺夫(Lax- Wendroff)定理6指出,如果双曲型方程的 守恒型差分方程的近似解收敛于片状光滑函数,则这些函数就是 双曲型方程的弱解。其次,为了得到双曲型方程的唯-物理 解54;5),还要求差分解满足离散熵条件2,或者在差分格式中增 加入工耗散项,以消除非物理激波产生的可能性。最近很多作者 在差分方法中,利用守恒格式、熵条件和人工耗散项,使得激波 捕捉方法中的误差可忌限在准确物理间断面的附近,抑制了差分 解在激波附近的振动,且对激波其有高分辨能力,进一步完善了 激波捕捉方法。基于这些思想,近年来国内外学者作了不少三 作,发表了不少论文2850。80年代初期,TVU格式5的提 出使得激波捕捉方法有了重大发展,基本上解决了高阶精度差分 解在激波附近的菲物理振动问题。以后TVD格式有了进一步的 发展,341)。另一方面,罗(R。),哈顿( Harten)等人以近似 黎曼( Riemann)解为基础,利用特征理论和特征符号分裂3 给出了CSCM方法2-4,该方法将边界处理与内点计算统一了 起来,且对澈波有着较强的分辨能力。文献:15,16中进一步发 展了CsCM方法。 在国内,很多学者也深入研究了激波的数值模拟问题,拱出 了很多好的计算方汯,如NND格式,MmB格式(),紧致迎 风格式3),耗散比拟方法等。且对TV格式,ENO格式进 行了深入的研究,给出了改进型的TVI格式和ENO格式 这些方法都以高分辨率的性能模拟了激波·使激波捕挺方法有了 新的进展。目前对该问题的研究仍处于高
二、刚性问題 刚性问题在数学上是从常微分方程中提出来的。考虑常微分 方程组 du A(x )u+F(x) 式中A(x)为mXm阶矩阵,i和F为m维向量。当矩阵1:N) 的特征值随x的改变相当大(例如可变化一个量级),且有大的 特征值,则称为数学上的刚性(Stif)向题。所谓大是相对x的 增量Δx而言的,即 Ax1,>》1 (1-3- λ为矩阵4x)的特征值。若对方程(1-3-1)两边除以矩阵1 (x)的最大特征值,则可以看出刚性问题也就是对应于导数项 (或自由项)带小参数的数学问题。 这里所提到的刚性问题是指流体运动的流场中,由于物理尺 度的差异所导致的刚性问题。 在计算统体力学中大致存在有两种刚性问题。种表现为空 何物理尺度的差异,如高雷谐数条件下的粘性绕流流场屮,粘性 起主导作用的流区域是靠近物面很小的边界层区域。在该区域 内流动参数变化相当大。这种情况下,对应的N-S方程屮粘性 项为带小参数1/Re的二阶导数项,即当Ay·Re》1时,为刚 性问题(这里Re为雷诺数,y为物面法向的变化量)。然而,在 此区域内的流动与该区城外流动之间的于扰,即粘性干扰,对整 个流体运动的流场物理特性的影响,在很多情况下是不可忽略 的,故必须认真模拟,为此要求取Δy足够小,使得Re:Δy 1;第:种表现为随时间变化的物理尺度的差异1。这里又分 为两种情况,一种是变化快的物理尺度很重要.且影响整个流动 特性、很快改变的流动现象不能简单消除,必颁认真模拟·例如 在高超声速绕流中的真实气体非平衡化学反应等;另-一种是随时 间变化快的物理量对整个流场物理特性的影响可忽略不计,这种
情况下,可通过初始值的处理、滤波方法或简化流体运动方程等 方法去掉快尺度物理量的影响,如马赫数趋近于零的欧拉方程的 极限解就是一个很好的例子 本书中所涉及的刚性问题主要是第一种。为了解决这一问 懸,从70年代初开始,计算流体力学中就开展了求解高雷诺数 N一S方程的计算方法研究。最初人采用显式格式求解可压縮 N-5方程,方法简单且程序工作量小,麦科马克( MacCormack 等人采用显式格式数值模拟激波-边界层干扰问题‘,我们采 用二阶精度借点显式差分格式,求解二维可压缩N-S方程, 给出了平板前缘干扰和压缩折角分离流动的计算结果2,5。。然 而显式方法因受稳定条件的限制,时间步长的选取要求满足(FL 条件、对于高霈诺数流动,要求空间步长Ay足够小,使得每 时间步长中扰动信息在演场中传播的距离不能超过空间的最小步 长。这祥,使得采用时间相关方法求解高雷诺数粘性绕流的定常 解遇到较大困难。为了解决这一问题,70年代中开展了隐式差分 格式和求解可压缩N-S方程的方法效率等问题的研究(参见第 、五、六、七章) 三、物理尺度分辨率与网格生成 对于多重尺度流体运动流场的数值模拟,不同尺度物理现象 的分辨率是一个重要问题。增加流场中不同尺度物理现象分萨率 的一个方法是采用高阶精度的数值计算方法。当流场中差分解是 光滑解时,在给定网格点数的条件下、采用此方法可得到更好的分 辨率,但计算方法更复杂,每一计算步骤要求更多的计算量,由 可能使方法失普遍应用性;另一种方法是给定计算方法,增 加网格点数或优化计算点的位置。此方法适合于非光滑流休运动 流场的数值模拟,但要求增加计算机的内存和运算时间。为了解 决这…河题,人们开展了网格士成技术的研究,月的是研究计算 区域内具有最大物理尺废分辨率的最优閃格布局。当流场物理特 性未知时,则要求网格按流场待性臼动形成,也就是自适应网