《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第七章 刚体动力学（7.1）刚体质量几何

理论力学 一体动力 李俊峰

理 论 力 学 李 俊 峰 ——刚体动力学

第七章刚体动力学 刚体质量几何 质点的运动与什么有关? —外力,质量 质点系(刚体)的运动与什么有关? 外力,质量,质量分布。 下面介绍描述质量分布的物理量: 质心,转动惯量,惯性张量等

第七章 刚体动力学 刚体质量几何 下面介绍描述质量分布的物理量： 质心，转动惯量，惯性张量等。 质点的运动与什么有关? ——外力，质量。 质点系（刚体）的运动与什么有关？ ——外力，质量，质量分布

第七章刚体动力学 刚体质量几何 §7-1刚体质量几何 、张量 1)张量是向量的推广,回忆一下向量的性质 设向量r在坐标系Oxyz中的分量写成 列阵为: 几1,F2,73 它在坐标系Oxy2z中的分量写成列阵为:

§7-1 刚体质量几何 1） 张量是向量的推广，回忆一下向量的性质。 设向量 在坐标系 中的分量写成 列阵为： 它在坐标系 中的分量写成列阵为： r  ( ) T r r r r 1 2 3 = , , ( ) T r r r r 1 2 3  =  ,  ,  oxyz ox  y  z  一、张量 第七章 刚体动力学 刚体质量几何

第七章刚体动力学 刚体质量几何 如果从oxyz到oxy′z′的变换矩阵为S, 则r,r′之间关系为:r′=Sr(7.1) 可见,并不是任意三个数组成的列阵都是某个 向量的分量。向量的分量随着坐标系不同而不 同,并且满足上面的关系式。 我们重新给出向量的定义:向量是一个包含3个 分量的量,当坐标变换时,它在不同坐标系中的 分量满足坐标变换关系式(7.1)

如果从 到 的变换矩阵为 S， 则 之间关系为： （7.1) oxyz ox  y  z  r, r  r  = Sr 可见，并不是任意三个数组成的列阵都是某个 向量的分量。向量的分量随着坐标系不同而不 同，并且满足上面的关系式。 我们重新给出向量的定义：向量是一个包含3个 分量的量，当坐标变换时，它在不同坐标系中的 分量满足坐标变换关系式 (7.1) 。 第七章 刚体动力学 刚体质量几何

第七章刚体动力学 刚体质量几何 向量是自然界中存在的许多物理量的概括,不 是人们凭空杜撰出来的。 2)张量也是一些物理量的抽象和概括,它是 这样定乂的:张量P是一个包含9个分量的量, 当坐标变换时,它在不同坐标系Oxyz和oxyz 中分量[]和[P]满足关系式 [P]=S[P]s7

向量是自然界中存在的许多物理量的概括，不 是人们凭空杜撰出来的。 2）张量也是一些物理量的抽象和概括，它是 这样定义的：张量P是一个包含9个分量的量， 当坐标变换时，它在不同坐标系 和 中分量 和 满足关系式 ox  y  z  P P     T P = S P S oxyz 第七章 刚体动力学 刚体质量几何

第七章刚体动力学 刚体质量几何 由于张量有9个分量,用矩阵表示比较方便。用 [P表示张量在坐标系0nz中的矩阵。 我们可以用列阵表示向量在某个坐标系中的分量 用矩阵表示张量在某个坐标系中的分量 我们发现:标量有3°个分量(零阶张量) 向量有3个分量(一阶张量) 张量有32个分量(二阶张量) N阶张量有3N个分量

我们发现：标量有 个分量（零阶张量） 向量有 个分量（一阶张量） 张量有 个分量（二阶张量） N 阶张量有 个分量 0 3 1 3 2 3 N 3 第七章 刚体动力学 刚体质量几何 我们可以用列阵表示向量在某个坐标系中的分量； 用矩阵表示张量在某个坐标系中的分量。 由于张量有9个分量，用矩阵表示比较方便。用 P 表示张量在坐标系 oxyz 中的矩阵

第七章刚体动力学 刚体质量几何 如果[P]=[P,则称P为对称张量 []=-pPy,则称P为反对称张量 例7-1试验证刚体角速度是二阶反对称张量

如果 ，则称P为对称张量。 ，则称P为反对称张量。     T P = P     T P = − P 第七章 刚体动力学 刚体质量几何 例7-1 试验证刚体角速度是二阶反对称张量

第七章刚体动力学 刚体质量几何 证:刚体上某点在固定参考系OXYz和固连系 Oxy中的向径为R和F,于是有R=R+F 设产在坐标系OXYZ中和在Oxyz中列阵为r 和p,在另一固定坐标系OYYz中列阵为 Ap r=Sr r'=SAp 在OYZ中角速度矩阵定义为[g2]=AA 在OYYz中角速度矩阵定义为[921]=(S4(SA) →[92]=S4S=S2] 故角速度是二阶张量,反对称性在运动学中已证

设 在坐标系 中和在 中列阵为 和 ，在另一固定坐标系 中列阵为 r OXYZ  oxyz r  OXYZ r  第七章 刚体动力学 刚体质量几何 R  r  R R r o    = + 证：刚体上某点在固定参考系 和固连系 中的向径为 和 ，于是有 OXYZ oxyz r = A r  = Sr r  = SA 在 OXYZ 中角速度矩阵定义为 T [] = A  A T SA SA dt d 在 OXYZ 中角速度矩阵定义为 [] = ( )( ) T T T [] = SAA S = S[]S  故角速度是二阶张量，反对称性在运动学中已证

第七章刚体动力学 刚体质量几何 例72证明并矢ab是二阶张量,其矩阵为ab (两向量并列在一起称并矢) 证:a=Sa,b=Sb ab= sab sy 例7-3任何二阶张量都可以用并矢表示。 证:设张量P在oxyz2中 P1p1213 的矩阵为 21 22 3

a  = Sa,b = Sb T T T a b = Sab S 例7-2 证明并矢 是二阶张量，其矩阵为 （两向量并列在一起称并矢） ab   T ab 证： 第七章 刚体动力学 刚体质量几何 例7-3 任何二阶张量都可以用并矢表示。 证：设张量P在oxyz中 的矩阵为             = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 p p p p p p p p p P

第七章刚体动力学 刚体质量几何 令 n1,p2n3J,P2=[n21,p2p2,P=[p3,pP2p3 e1=[.00,e2=010],e2=D01 则:[P]=e1P+e2P+e3P →P=1+e2P2+e3P3证毕 单位张量:E=日+2+23[=010

第七章 刚体动力学 刚体质量几何 令：       T T T P1 p1 1 p1 2 p1 3 P2 p2 1 p2 2 p2 3 P3 p3 1 p3 2 p3 3 = , , , = , , , = , ,       T T T e1 = 1,0,0 ,e2 = 0,1,0 ,e3 = 0,0,1 则：   T T T P = e1 P1 + e2 P2 + e3 P3 1 1 2 2 3 3 E e e e e e e       = + +             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 单位张量： E 1 1 2 2 3 P3 P e P e P e        = + + 证毕