《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第七章 刚体动力学（7.5）陀螺近似理论

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 §7-5陀螺近似理论 1陀螺基本公式 陀螺:定点运动的轴对称刚体(A=B) 我们知道若M=0,A=B,则刚体作规则进动 反之,若刚体规则进动且A=B,那么M/()=? M12=A4-(4-Co sin esin M,=Aiv-(C-Aa @,=Usin 6 cos M=C a-=cosy+op 欧拉动力学方程 欧拉运动学方程

第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 陀螺：定点运动的轴对称刚体（A=B） 我们知道若 Mo (e) = 0, A = B ，则刚体作规则进动；  反之，若刚体规则进动且A=B，那么 ( ) = ? e Mo       = + = =                 cos sin cos sin sin z y x 欧拉动力学方程 欧拉运动学方程 §7-5 陀螺近似理论 1 陀螺基本公式 ( ) ( ) z z y y x z x x y z M C M A C A M A A C           = = − − = − −

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 利用规则进动特点b=6= const V=a2=const, P=0,=const @r=sin esin p 对欧拉运动学方程{0,= y sin 0 cose求导得 a-=cosy+op ax=oisin 8 cos =O,@2 sin Bo cos p, y=-oysn sm=-O1@2 sn o sn p, 0

利用规则进动特点 第七章 刚体动力学 陀螺近似理论      = + = =                 cos sin cos sin sin z y x 对欧拉运动学方程 求导得： 0 sin sin sin sin , sin cos sin cos , 1 2 0 1 2 0 = = − = − = = z y x                         const const const = = = = = = 1 2 0 , ,        

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 M、=A、-(A-C 代入欧拉动力学方程M1=Al,-(C-4o, M=Ce 2 得 M=[CO,O2-(A-C)o2 cos 0 ]sin 0 cos P M,=C2-(4-Co2 COS oSIn 6 0 sin g M.=0

第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 得： [   ( ) cos0 ]sin0 cos 2 Mx = C 1 2 − A−C 2 Mz = 0 [   ( ) cos 0 ]sin  0 sin  2 M y = − C 1 2 − A−C 2 代入欧拉动力学方程 ( ) ( ) z z y y x z x x y z M C M A C A M A A C           = = − − = − −

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 Mo=Me +m,ev=molex cos o-e, sin 其中M=O1O2sinO0C-(A-C) cos 0o2/o1] 我们知道节线ON的单位向量 Z i N=ex cos -ey sin p 故Mn=M2eN 6 容易验证: 02×O1=O21Sn60eN X

第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 Z  z y o   Y X N x k    2 = 1 3 e     = Mo  ( cos sin ) o x x y y o x y M M e M e M e e      = + = − 我们知道节线ON的单位向量 sin [ ( )cos / ] 其中 Mo =1 2  0 C − A−C  0 2 1 e N ex cos ey sin     = − 故 o o N M M e   = 容易验证： N e    2 1 2 1 0   =  sin 

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 最后,轴对称刚体作规则进动所受的力矩为: Mo=02XO,[C+(C-a)-2cosBo1 此式称为陀螺基本公式 特殊情况: 当O=90°或A=B=C时M。=C2×1 时M0≈C2×1

[ ( ) cos ] 0 1 2 2 1    Mo =  C + C − A    此式称为陀螺基本公式。 当 或 时 当 时 = 90 0 A= B =C 2 1    Mo = C  1 2 2 1    Mo C  第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 最后，轴对称刚体作规则进动所受的力矩为： 特殊情况：

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 ●例7-3碾磨机的滚子质量为m,半径为a,对滚子 轴oz的回转半径为ρ,滚子只滚不滑,oz轴以常 角速度g绕oZ轴转动,求碾子对水平底面压力。 M=2×OC+C-A)2cos

例7-3 碾磨机的滚子质量为m，半径为a，对滚子 轴oz的回转半径为 ，滚子只滚不滑，oz轴以常 角速度 绕oZ轴转动，求碾子对水平底面压力。   Z z a R O 第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 [ ( ) cos ] 0 1 2 2 1    Mo =  C + C − A   

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 解:碾子做规则进动,ω1=Dx,2=Sk,θ=90° 纯滚条件:O=2 C=mp 代入陀螺基本公式:Mn=a2xmC+(C-A)02cosn R =CO2×o1=C92Oe,=m022-e, M= RNe N- mp 可见Ω个→N个,转速越快,碾磨压力越大

解：碾子做规则进动， = , =  , = 90 1 ex 2 k      纯滚条件：   a R = 2 C = m o y M RNe   = o y y e a R M C C e m      2 2 = 2 1 =  =   可见   N  ，转速越快，碾磨压力越大。 第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 2 2 =  a m N  [ ( ) cos ] 0 1 2 2 1    Mo =  C + C − A    代入陀螺基本公式：

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 2陀螺近似理论 现代科技中采用的陀螺仪,转子速度极高,ω1>2 O≤02<<O1 于是有o≤2<O Q2=02COsb+O1≈O1 →=01+m,j+Ok≈O,k G.∥ Gn=AOi+Ao,+COk≈CO1k 陀螺仪有如下性质

现代科技中采用的陀螺仪，转子速度极高， 1 2 i j k k x y z       = + + 1 G A i A j C k C k o x y z      =  +  +   1 第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 x 2 1  y 2 1 2 1 1 z = coso +  于是有 陀螺仪有如下性质： 2 陀螺近似理论    // Go

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 性质1当M=0时,G、沿着对称轴方向 并且在惯性空间中保持不变。近似的永久转动 性质2当M≠0时,G=M “向量G的端点在空间中运动的速度等于M” (赖柴尔定理) 性质3当某一力萨作用在陀螺对称轴上时,对 称轴将向M=F×F的方向运动;当该力停止作 用时,对称轴将停止运动

性质3 当某一力 作用在陀螺对称轴上时，对 称轴将向 的方向运动；当该力停止作 用时，对称轴将停止运动。 F  Mo r F    =  第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 性质1 当 时, 沿着对称轴方向， 并且在惯性空间中保持不变。近似的永久转动。 Mo = 0  1 ,   Go 性质2 当  0 时, Mo  Go Mo    = Go  Mo  “向量 的端点在空间中运动的速度等于 ” (赖柴尔定理)

第七章刚体动力学 陀螺近似理论 性质4设短时间τ内作用在陀螺上的力将 使对称轴偏离原方向B角 C Bod xaa=var=Mr= fht Fhi fht fhr B od 若冲量Fτ为有限量,则由Ca>1,可知 β<<1极小,在实际中很难观测到β的大小 驼螺具有短时间的方向保持能力(抗干扰能力)

性质4 设短时间 内作用在陀螺上的力 将 使对称轴偏离原方向 角。  F   a  a  Go  F  h o a v   oa aa v  M Fh   = a = = 1     C Fh G Fh oa Fh o = = = 若冲量 为有限量，则由 ，可知 极小，在实际中很难观测到 的大小。 F C1 1  1  第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 陀螺具有短时间的方向保持能力（抗干扰能力）