第七章刚体动力学 刚体定轴转动 §7-3刚体定轴转动 Z 1运动方程 设刚体上有两个固定点O和 O1。取固定系OXYZ和 h C 固联系Onyz。 Y 设q为转角
第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 1 运动方程 Y x Z z y X 1 o F1 o F C h 设 为转角。 §7-3 刚体定轴转动 O1 设刚体上有两个固定点O和 。取固定系OXYZ和 固联系Oxyz
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 刚体所受主动力主向量为R,对O点主矩为M 动量定理:Mh2=R+F+F1() 动量矩定理:G。=Mn+×F1(2) O Oc 动力学正问题:已知RM求()=? 反间题:已知()求RM,F,F
刚体所受主动力主向量为 R , 对O点主矩为 Mo 动量矩定理： (1) R F F1 Mvc = + + (2) 1 F1 G M r o o o o = + = = o o c oc G J v r 反问题：已知 (t) 求 1 R,Mo ,F,F 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 动量定理： R Mo , 动力学正问题：已知 求 (t)= ?
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 在求解具体问题时,需要将这两个向量方程写成 在OYYz中或Ox中的分量形式 设OXZ中的单位向量为:i,j,k O中的单位向量为:a,a2l3a C 其中:x2y,=为常数(已知)(=N F Oc xcel t yce2tzce3 roc= xi+r+zk 在oxy中写 X,Y,Z。为时间的函数(未知)方程更方便
在求解具体问题时，需要将这两个向量方程写成 在OXYZ中或oxyz中的分量形式。 设OXYZ中的单位向量为： oxyz中的单位向量为： i j k , , 1 2 3 e ,e ,e 1 2 3 r x e y e z e o c c c c = + + r X i Y j Z k oc c c c = + + 其中： 为常数(已知) 为时间的函数(未知) c c c x , y ,z Xc Yc Zc , , 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 Y x Z z y X 1 o F1 o F h C 在oxyz中写 方程更方便
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 pk =ie 代入(1)和(2)并利用1 可得方程在oxyz中的分量形式 另外方法:利用绝对导数和相对导数的关系 十O 方程(1)和(2)变为:
3 k e = = 2 1 v x e y e c c c = − 代入(1)和(2)并利用 ，即 可得方程在oxyz 中的分量形式。 1 2 2 1 e e , e e = = − 另外方法：利用绝对导数和相对导数的关系 ( ) = ( )+ ( ) dt d dt d ˆ 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 方程(1)和(2)变为：
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 MC+M×=R+F+F1 dG +0×G=M+ F×F1 0·001 记oxyz中 R RR M=(M、M、M F=(F、F、F x21v21z =(00,),OC=(x2y2=)
1 ~ M v R F F dt dv M c c + = + + 1 1 ~ G M r F dt dG o o o o o + = + 记oxyz中 ( ) ( ) T o x y z T R = Rx ,Ry ,Rz , M = M ,M ,M ( ) ( ) T x y z T F Fx Fy Fz F1 F1 F1 F1 = , , , = , , ( ) ( ) T c c c T = 0,0, , OC = x , y ,z 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 最后得到运动方程的分量形式为: Mvo-M o=R+F+FI M(p-My R,+F,+F1 0=R+F+F1 C F M-hEi 2 MthF JO=M
最后得到运动方程的分量形式为： 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 Myc Mxc Rx Fx F1x 2 − − = + + Mxc Myc Ry Fy F1y 2 − = + + 0 = R z + F z + F1z xz yz Mx hF y J J 1 2 − + = − yz xz M y hF x J J 1 2 − − = + z M z J = Y x Z z y X 1 o F1 o F h C
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 例7-2等腰直角三角板绕直角边转动,设OO1=a 求使板对O点的侧压力为零的o=? M-12=R2+F+F1x M (p-M (p =Rv+Fy+F 0=R+F+F1 0+J2=M2-hF1 mg y (2=M,+hF
例7-2 等腰直角三角板绕直角边转动，设 求使板对o点的侧压力为零的 。 oo1 = a = ? z o1 C mg o x y 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 Myc Mxc Rx Fx F1x 2 − − = + + Mxc Myc Ry Fy F1y 2 − = + + R z F z F1z 0 = + + xz yz x y J J M hF1 2 − + = − yz xz y x J J M hF1 2 − − = + z M z J =
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 解:已知x=0 a/3.h J=0,J1=ma2/4,R=R,=0,R=-mg Mx=-mga/3,M,=M=0,侧压力F=F,=0 maop=3F ma=3F1 F+F12-mg=0 mgy 3map2=-4mg-12F1 ma(=4F1 可解出0=2g/a 0 o=(p=const
解：已知 xc = 0 , yc = a /3 , h = a 0 , / 4 , 2 Jxz = J yz = ma Rx = Ry = 0 , Rz = −mg M x = −mga / 3 , M y = M z = 0 可解出 = 2 g / a 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 − ma = 3F1x ma F1y 2 − = 3 Fz + F1z −mg = 0 ma mg F1y 2 3 = −4 −12 − ma = 4F1x = 0 ，侧压力 Fx = Fy = 0 = = const z o1 C mg o y
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 2动反力为零条件: 显然当φ==0时,动反力等于零。但刚体转 动时,,不会都为零,需要研究方程: yc+x22=0 方程(1)和(2)可看做是关 Vcp +x =0 于x2y和J=2J=的齐次 线性方程组,它们的系 0 1Jx2+J2单=0 (2)数行列式是: i2+4
2 动反力为零条件： 显然当 时，动反力等于零。但刚体转 动时， 不会都为零，需要研究方程： = = 0 , (1) 0 0 2 2 − + = + = c c c c y x y x (2) 0 0 2 2 + = − = xz yz xz yz J J J J 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动 方程(1)和(2)可看做是关 于 和 的齐次 线性方程组，它们的系 数行列式是： c c x , y xz yz J , J 2 4 2 2 = + −
第七章刚体动力学 刚体定轴转动 当刚体转动时g2+4≠0 →x=y=0,Jx=J2=0 结论:刚体定轴转动时,动反力为零的充要条 件是转动轴是中心惯性主轴
当刚体转动时 0 2 4 + xc = yc = 0 , J xz = J yz = 0 结论： 刚体定轴转动时，动反力为零的充要条 件是转动轴是中心惯性主轴。 第七章 刚体动力学 刚体定轴转动