《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第六章 质点动力学（6.5）变质量系统动力学

第六章质点动力学 变质量系统 §6-5变质量系统动力学 变质量系统:质量随时间连续变化的质点系 例:雨滴下降过程中由于蒸发而质量变小, 由于水汽凝结使质量增加;浮冰在天热时由 于溶解而质量变小,也会由于下雪而质量变 大。(自然界的变质量系统) 又如:火箭、电梯、洒水车等(工程技术中的变 质量系统)

第六章 质点动力学 变质量系统 §6-5 变质量系统动力学 变质量系统：质量随时间连续变化的质点系。 又如：火箭、电梯、洒水车等(工程技术中的变 质量系统) 例：雨滴下降过程中由于蒸发而质量变小， 由于水汽凝结使质量增加；浮冰在天热时由 于溶解而质量变小，也会由于下雪而质量变 大。(自然界的变质量系统)

第六章质点动力学 变质量系统 模型假设:设质点系的质量M()在≠0时为 Mo,在任意时刻为 M(t)=M-M1()+M2() 1()—从零时刻到t时刻离开系统的质量, 2()—从零时刻到t时刻进入系统的质量, M,M2是时间的非负、非递减、连续可微函数

M(t) M M (t) M (t) = 0 − 1 + 2 ——从零时刻到 t 时刻离开系统的质量， ——从零时刻到 t 时刻进入系统的质量， 是时间的非负、非递减、连续可微函数。 M (t) 1 M (t) 2 1 2 M , M 第六章 质点动力学 变质量系统 模型假设：设质点系的质量 M(t) 在 t=0 时为 M0 ，在任意时刻为

第六章质点动力学 变质量系统 变质量系统动量定理 变质量系统瞬时动量P=M()() 由动量定理 p=) Mv=Rley-Mv 由此看出,当变质量质点不受力沿直线运动且 质量按M=1±t规律变化时,bh/v=干d/(1±) 于是p=1(1±t)

变质量系统动量定理 ( ) c e c Mv R Mv      = − 第六章 质点动力学 变质量系统 即 (e) P R    由动量定理 = P M(t)v (t) c   变质量系统瞬时动量 = 由此看出，当变质量质点不受力沿直线运动且 质量按 规律变化时， 于是 M =1t dv / v = dt /(1 t) v =1/(1 t)

第六章质点动力学 变质量系统 v=1/(1±t) 结论:质量减少,速度增加;质量增加,速度 减少。与增加(或减少)质量的速度无关! 这个结论合理吗?为什么?M2=-M。 以前的动力学普遍定理是研究同样质点组成的 质系的动力学量变化规律,而变质量系统在不 同时刻组成质系的质点不同,不能直接应用!

以前的动力学普遍定理是研究同样质点组成的 质系的动力学量变化规律，而变质量系统在不 同时刻组成质系的质点不同，不能直接应用！ 这个结论合理吗？为什么? 第六章 质点动力学 变质量系统 结论：质量减少，速度增加；质量增加，速度 减少。与增加（或减少）质量的速度无关！ v =1/(1 t) ( ) c e c Mv R Mv      = −

第六章质点动力学 变质量系统 正确的推导变质量系统动量定理的思路 与常质量系统相比,研究变质量系统动量变化规 律的特殊困难是什么?研究对象(质系)也在变化! 设S()是变质量系统,S(是常质量系统。 在t=t,S()=S()={cd,e}的动量F)=P 1=1+:S(+n)={ab.c}的动量p)+F=p(+) S+)=s()={cd,l}的动量p)+P=p(+4) 在t+M时刻系统S与系统S"的动量之间 的关系为P+A)=P(+A)4+2

在 t = t * , S(t * )= S(t * )= b,c,d,e 的动量 ( ) ( ) * * P t = P t   t t t : S(t t) a,b,c * * = +  +  = 的动量 P(t )+ P = P(t + t) * *    S (t t) S (t ) b,c,d,e * *  +  =  = 的动量 P(t )+ P = P(t + t) * *    设 S(t) 是变质量系统， S(t) 是常质量系统。 第六章 质点动力学 变质量系统 正确的推导变质量系统动量定理的思路 在 时刻系统 与系统 的动量之间 的关系为 t + t * S S ( ) ( ) 1 2 * * P t t P t t P P     +  =  +  −  +  与常质量系统相比，研究变质量系统动量变化规 律的特殊困难是什么？研究对象(质系)也在变化！

第六章质点动力学 变质量系统 :p)+=p()+-+B 4P=AP-4P+4P2 两边同时除以At,取极限后可得: dP △B,AP2 t=t lir △t→>0 对常质量系统S"用动量定理: at lisr'splelt ()=R(C)-m △P△P △t→>0

即: ( ) ( ) 1 2 * * P t P P t P P P       +  =  +  −  +  P P P1 P2      =  −  +  第六章 质点动力学 变质量系统 两边同时除以 t ，取极限后可得:         +   − −  =  → = = t P t P dt dP dt dP t t t t t 1 2 0 * * lim   对常质量系统 S 用动量定理： ( ) ( ) * * R t dt dP e t t   =  =         +   = − −  → t P t P P t R t t e 1 2 0 * ( ) * ( ) ( ) lim   

第六章质点动力学 变质量系统

第六章 质点动力学 变质量系统

第六章质点动力学 变质量系统 对一般变质量系统的推导 设S是惯性系中运动的封闭曲面,在运动(包括变 形)中有质点并入或离开S围成的区域,这是个变 质量系统 记Q为任意时刻S内质点构成的质系,其动量为P 在某时刻t=t,S内的质点构 成的系统为Qt')=Q, 动量为成()=F

设S是惯性系中运动的封闭曲面，在运动(包括变 形)中有质点并入或离开S围成的区域，这是个变 质量系统。 第六章 质点动力学 变质量系统 记Q为任意时刻S内质点构成的质系，其动量为 P  对一般变质量系统的推导 S ( ) * Q t 在某时刻 , S内的质点构 成的系统为 , 动量为 。 * t = t * * Q(t ) = Q * * P(t ) P   =

第六章质点动力学 变质量系统 经过时间M后 Q1 S内质系Q的动 量变化为庐+AP Q(t) Q(t 而在t=t'时刻 在S内的Q的 动量变为p+AF 显然:F+=F+A-1F+4 A是M内离开S的部分质量Q的动量。 A是M内进入S的部分质量Q2的动量 4P=4P-AP+4P

经过时间 后， S内质系Q的动 量变化为 而在 时刻 在S内的 的 动量变为 t P + P *  * t = t * Q * * P P   +  显然： 1 2 * * * P P P P P P       +  = +  −  +  第六章 质点动力学 变质量系统 是 内离开S的部分质量 的动量。 是 内进入S的部分质量 的动量。 P1   P2   t t Q1 Q2 1 2 * P P P P      =  −  +  Q1 Q2 S Q(t) S ( ) * Q t

第六章质点动力学 变质量系统 对系统Q用动量定理: R R是t=t时刻作用在Q'上的外力主向量。 戶=ap++=)+F lim

( ) P F F R F dt d P dt d e       = + 1 + 2 = + * 对系统 用动量定理: 是 时刻作用在 上的外力主向量。 * Q (e) R dt dP   = * (e ) R  * t = t * Q 第六章 质点动力学 变质量系统 t P F t P F     2 2 1 1 lim , lim     = − =