《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第二章 刚体运动学（2.2）刚体定点运动

第二章刚体运动学 §2-2刚体定点运动 定点运动:刚体上有一个点固定不动。根据夏莱 定理,任何运动都可以分解为平动和定点运动。研 究平动时需要点的运动学知识,研究定点运动时需 要刚体运动学知识 速度和加速度公式 选固定点为基点O,刚体上点的速度和加速度为: × a=E×F+0×(O×F)

第二章 刚体运动学 §2-2 刚体定点运动 定点运动：刚体上有一个点固定不动。根据夏莱 定理，任何运动都可以分解为平动和定点运动。研 究平动时需要点的运动学知识，研究定点运动时需 要刚体运动学知识。 速度和加速度公式 选固定点为基点o ，刚体上点的速度和加速度为： v r    = a r ( r)       =  + 

第二章刚体运动学 刚体定点运动 注意:一般来说,在刚体定点运动和一般运动时刚体的 角速度不是某个角度对时间的导数。刚体的角速度和角 加速度也不是沿着空间中固定的方向,它们的指向是随 着时间变化的。若将P点的向径分解为沿着瞬时角速 度方向和垂直方向,则 节=0×F 其大小为:v=Or′方向垂直向里。 d=E×F-02r 其中第二项为类似向心加速度。O

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 注意：一般来说，在刚体定点运动和一般运动时刚体的 角速度不是某个角度对时间的导数。刚体的角速度和角 加速度也不是沿着空间中固定的方向，它们的指向是随 着时间变化的。若将 P 点的向径分解为沿着瞬时角速 度方向和垂直方向，则 O   r  r   P v =r     v =r  a = r − r     2  其大小为： 方向垂直向里。 其中第二项为类似向心加速度

第二章刚体运动学 刚体定点运动 例22半径为r的车轮沿圆弧作纯滚动,如图所示,已 知轮心E的速度是u,轮心轨道半径是R。求车轮上最 高点B的速度 B E R

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 例2.2 半径为 r 的车轮沿圆弧作纯滚动，如图所示，已 知轮心 E 的速度是 u ，轮心轨道半径是 R 。求车轮上最 高点 B 的速度。 E O R r u B C

第二章刚体运动学 刚体定点运动 解:O点是固定点,刚体上点p的速度等于:vp=0×p 可见,解决本问题的关键是确定角速度的大小和方向 由于轮子作纯滚动,C=0×1c=0 故角速度的方向平行于OC。 O 由速度公式E点的速度为 B LT=vE=0(oc/roc)×rOE Oroe SIN aT R 同理,B点的速度为 B=0(c/oc)×B C aroB sin 2at=faroe SIn aT=2vE

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 解：o 点是固定点，刚体上点 p 的速度等于： p op v r    =  可见，解决本问题的关键是确定角速度的大小和方向。 由于轮子作纯滚动， v C = r OC = 0    故角速度的方向平行于OC。 E O R r B C 由速度公式 E 点的速度为 E OC OC OE u v r r r      = = ( / )   u 同理， B 点的速度为 B OC OC OB v r r r    = ( / )    = r OE sin OB OE E r r v    = sin 2 = 2 sin  = 2  A

第二章刚体运动学 刚体定点运动 例23在上一个例子中,如果轮心E的速度u是常数, 求车轮上最高点B的加速度。 解:根据上题的分析,如果u是常数,则轮子的角速度 的大小也是常数,只是方向随着时间变化。因此轮子的 角加速度就是角速度向量端点的运动速度。 我们可以将角速度向量看作 是某个刚体上的一条线, 且此刚体以角速度 Q=oSn ae AO BEC 绕竖直轴作定轴转动

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 例2.3 在上一个例子中，如果轮心 E 的速度 u 是常数， 求车轮上最高点 B 的加速度。 解：根据上题的分析，如果 u 是常数，则轮子的角速度 的大小也是常数，只是方向随着时间变化。因此轮子的 角加速度就是角速度向量端点的运动速度。 AO e    = sin  我们可以将角速度向量看作 是某个刚体上的一条线， 且此刚体以角速度 绕 竖直轴作定轴转动。 B O E C     

第二章刚体运动学 刚体定点运动 因此￡=9×O=-02 sin a cos at o sin 2at 下面分别计算切向加速度a和向心加速度an a1=EB=(0 roB SIn2a)/2方向如图所示 =0Sn(m八、 noB Sin2a方向如图所示。 aB=vaf +an+2a an, cos(T-2a) B nE C

第二章 刚体运动学 刚体定点运动  =  = −   = −        sin 2 2 1 sin cos 2 2 因此 B O E C      t a  n a  下面分别计算切向加速度 at 和向心加速度  n a  ( sin 2 )/ 2 2 at = r OB =  r OB  =  sin( −2) =  sin 2 2 2 n OB OB a r r 方向如图所示。 方向如图所示。 2 cos( 2 ) 2 2 aB = at + an + at an − 

第二章刚体运动学 刚体定点运动 航天器姿态运动学简介 航天器绕质心的定点运动 称为姿态运动 品姿态的描述 ◆方向余弦式 ◆欧拉角式 ◆欧拉轴/角参数式 ◆欧拉四元素式 品姿态运动学方程

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 航天器姿态运动学简介 航天器绕质心的定点运动 称为姿态运动  姿态的描述 方向余弦式 欧拉角式 欧拉轴/角参数式 欧拉四元素式  姿态运动学方程

第二章刚体运动学 刚体定点运动 ◆方向余弦式:从固联坐标系到参考坐标系的转换矩 阵A的元素,实际上就是相应坐标轴间夹角的方向 余弦。显然用这九个元素可以完全描述卫星的姿态 但是这九个元素满足由正交性确定的六个约束条件, 因此只有三个是独立的。由刚体角速度的定义可知, 该描述下的姿态运动学方程为: 0 A=0A=03

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 方向余弦式：从固联坐标系到参考坐标系的转换矩 阵 A 的元素，实际上就是相应坐标轴间夹角的方向 余弦。显然用这九个元素可以完全描述卫星的姿态。 但是这九个元素满足由正交性确定的六个约束条件， 因此只有三个是独立的。由刚体角速度的定义可知， 该描述下的姿态运动学方程为： A A A           −   − −  =   0 0 0 ~ 2 1 3 1 3 2 

第二章刚体运动学 刚体定点运动 注:已知方向余弦求卫星角速度问题只是微分问题, 比较简单。而已知角速度求方向余弦问题比较复杂, 需要求解含6个代数约束的常微分方程组 ◆欧拉角式:由于欧拉角与方向余弦矩阵有关系 显然,可以用欧拉角描述卫星的姿态。因为矩阵乘法 不具有可交换性,方向余弦矩阵与三次转动的顺序有 关,总共有12种不同的转动顺序: 1-2-1,1-3-1,2-1-2,232,3-1-3,323 1-2-3,1-3-2,2-1-3,231,3-1-2,3-2-1

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 注：已知方向余弦求卫星角速度问题只是微分问题， 比较简单。而已知角速度求方向余弦问题比较复杂， 需要求解含6个代数约束的常微分方程组。 欧拉角式：由于欧拉角与方向余弦矩阵有关系 A = A A A 显然，可以用欧拉角描述卫星的姿态。因为矩阵乘法 不具有可交换性，方向余弦矩阵与三次转动的顺序有 关，总共有12种不同的转动顺序： 1-2-1，1-3-1，2-1-2，2-3-2，3-1-3，3-2-3 1-2-3，1-3-2，2-1-3，2-3-1，3-1-2，3-2-1

第二章刚体运动学 刚体定点运动 我们前面介绍的欧拉角是比较常用的一种,其转动顺序 是3-1-3。可以推出该描述下的姿态运动学方程: O sin (p+o2 cos(p O, cos (sin 0-0, sin (sin 0 0 @, sin o cos0-O cos o cos0+0 sin 0 注:已知欧拉角求角速度问题只是微分问题,比较简单 而已知角速度求欧拉角需要求解上面常微分方程组。需 要注意的是,上面方程组是非线性的,而且在章动角为 零时出现奇异,这会给求解带来很大困难

第二章 刚体运动学 刚体定点运动 我们前面介绍的欧拉角是比较常用的一种，其转动顺序 是3-1-3。可以推出该描述下的姿态运动学方程：           −   −   +     −    +   =              sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin cos sin 1 1 2 3 1 2 1 2    注：已知欧拉角求角速度问题只是微分问题，比较简单。 而已知角速度求欧拉角需要求解上面常微分方程组。需 要注意的是，上面方程组是非线性的，而且在章动角为 零时出现奇异，这会给求解带来很大困难