理论力学 分析力学初步 李俊峰
——分析力学初步
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 ●§8-1约東、虚位移、 D'Alembert-Lagrange原理 约束及其分类 约束:对质点系中质点的向径和速度的强制性的 限制条件。无论主动力如何变化,约束都必须得 到满足。无约束质系称为自由质系,有约束质系 称为非自由质系。 最一般的约束表达式为∫(t,,…,n,1,…,5)≥0 可简记为f(t,2)≥0(8-1)
约束：对质点系中质点的向径和速度的强制性的 限制条件。无论主动力如何变化，约束都必须得 到满足。无约束质系称为自由质系，有约束质系 称为非自由质系。 §8-1 约束、虚位移、D’Alembert-Lagrange原理 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 最一般的约束表达式为 ( , , ..., , , ..., ) 0 f t r1 rn v1 vn f (t,ri, vi) 0 可简记为 （8-1） 一、约束及其分类
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 约束的分类: f(t,,v)≥0(8-1) 1)如果表达式(8-1)中只有等号成立,则称其 为双面约束(称该表达式为约束方程);香则称为 单面约束。 2)如果表达式(8-1)中不包含v,则称其为几 何约束或完整约束;否则称为微分约束 3)如果微分约束可以积分成为几何约束,则也 ●称为完整约束,否则称为非完整约束
约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 约束的分类： ( , , ) 0 i i f t r v （8-1） 1）如果表达式（8-1）中只有等号成立，则称其 为双面约束(称该表达式为约束方程)；否则称为 单面约束。 2）如果表达式（8-1）中不包含 ，则称其为几 何约束或完整约束；否则称为微分约束。 i v 3）如果微分约束可以积分成为几何约束，则也 称为完整约束，否则称为非完整约束
彐·第八章分析动力学初步 约束、虚位移 4)如果表达式(8-1)中不显含时间t,则称其 为定常约束;否则称为非定常约束。 例8-1设一个质点被限制在某个平面内运动。 若取Z轴垂直于该平面,则约束方程为Z= const 这是定常几何约束 例8-2设质点被限制在某个球心位于坐标原点的 球面上运动,球半径随时间变化r=f(t)。 则约束x2+y2+z2=f2()是非定常几何约束
约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 4）如果表达式（8-1）中不显含时间 t ，则称其 为定常约束；否则称为非定常约束。 例8-1 设一个质点被限制在某个平面内运动。 例8-2 设质点被限制在某个球心位于坐标原点的 球面上运动，球半径随时间变化r f (t)。 若取Z轴垂直于该平面，则约束方程为 Z = const。 这是定常几何约束。 ( ) 2 2 2 2 则约束 x y z f t 是非定常几何约束
彐·第八章分析动力学初步 约束、虚位移 例8-3设两个质点用长为l的绳相连 则约束(-n)≤l是单面定常几何约東 例8-4冰刀在冰面上的运动,如图所示 设c为冰刀上任意一点,它的运动方向只能沿着 ●冰刀的长度方向向前。 约束方程为z=0,y=ig c(x, y) 这是定常微分约束,还是 非完整约束(考虑如何证明)
约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 例8-3 设两个质点用长为 l 的绳相连。 例8-4 冰刀在冰面上的运动，如图所示。 c v c(x, y) x y o 约束方程为 这是定常微分约束，还是 非完整约束(考虑如何证明) z 0, y xtg 2 2 1 2 (r r ) l 则约束 是单面定常几何约束。 设c为冰刀上任意一点，它的运动方向只能沿着 冰刀的长度方向向前
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 例8-5纯滚动的圆柱 zc=0, y=r 几何约束 A=DC+×FA 0微分约束 →元-r=0 → 0 完整约束
例8-5 纯滚动的圆柱 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 vA vC rCA 0 0 0 x r x r c c 完整约束 微分约束 z y r c 0, c 几何约束 c Cv x y
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 例8-6在平面上纯滚动的球 几何约束 v+×r4=0微分约束 →c-rO)y=0,ye +rO.=0 用欧拉角写成 r( sin e cos o- cos)=0前两个式不可积 j+ r(sin 6 sin o+sng)=0这是非完整约束 z-r=0
例8-6 在平面上纯滚动的球 x r y r z r c y 0, c x 0, c 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 用欧拉角写成 前两个式不可积 这是非完整约束 vC rCA 0 微分约束 z r c 几何约束 0 ( sin sin sin ) 0 ( sin cos cos ) 0 z r y r x r c c c c Cv x y z
彐·第八章分析动力学初步 约束、虚位移 二、虚位移 1)真实位移:=(t+d)-r(t) 其中F必须同时满足运动微分方程及初始条件, 和约束方程f(1,)=0。 2)可能位移:41=(+d)-(t) 其中只须满足约束方程f(,,)=0,而 不必满足运动定律及初始条件
约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 1）真实位移： dr r(t dt) r(t) i i i 其中 必须同时满足运动微分方程及初始条件， 和约束方程 。 ir f (t,ri ,ri) 0 二、虚位移 2）可能位移： r r(t dt) r(t) i i i 其中 只须满足约束方程 ，而 不必满足运动定律及初始条件。 ir ( , , ) 0 i i f t r r
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 由定义知:真实位移是可能位移之一。真实位 ●移是唯一的,可能位移有无穷多个。 俯视图 俯视图
由定义知：真实位移是可能位移之一。 真实位 移是唯一的，可能位移有无穷多个。 Pi i dr Fi Pi Fi i1 r i 2 r i3 r 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 俯视图 俯视图
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 3)约束对可能位移(真实位移)的限制: 设质系受到几何约束f2(t,)=0,a=12,,1 和微分约束∑a1(,)节+a=0,B=1,2…S 几何约束对可能位移的限制方程为 ∑以a·A+△t=0,a at 微分约束对可能位移的限制方程为 ∑aB1(t,)△+aB△=0,B=1,2,…,S
t l t f r r N f i i i 0, 1,2,..., 1 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 3）约束对可能位移（真实位移）的限制： 设质系受到几何约束 和微分约束 f t r l i ( , ) 0, 1,2,..., a t r v a s i i N i i( , ) 0, 1,2,..., 1 几何约束对可能位移的限制方程为 微分约束对可能位移的限制方程为 a t r r a t s i i N i i( , ) 0, 1,2,..., 1