第七章刚体动力学 刚体平面运动 §7-6刚体平面运动动力学 前面介绍过刚体一般运动微分方程: Mr= rle J·E=M (e) 对平面运动,令:Z=0,O,=0,=0 可得到刚体平面MXa=Rx 质心运动 运动微分方程 MY= R J(=M绕质心的转动
第七章 刚体动力学 刚体平面运动 可得到刚体平面 运动微分方程 z z c y c x J M MY R MX R = = = §7-6 刚体平面运动动力学 绕质心的转动 质心运动 前面介绍过刚体一般运动微分方程： (e) Mrc R = (e) c Mc J = = = = = Zc x y z 对平面运动，令： 0 , 0
第七章刚体动力学 刚体平面运动 例7-7设均质细杆AB,长l, 重P,两端分别沿铅垂墙和 水平面滑动,不计摩擦,如 图所示。若杆在铅垂位置受 干扰后,由静止状态沿铅垂 面滑下,求杆在任意位置受° B x 到墙的约束反力(表示为a 的函数形式)
第七章 刚体动力学 刚体平面运动 例7-7 设均质细杆AB，长l， 重P，两端分别沿铅垂墙和 水平面滑动，不计摩擦，如 图所示。若杆在铅垂位置受 干扰后，由静止状态沿铅垂 面滑下，求杆在任意位置受 到墙的约束反力（表示为 的函数形式）。
第七章刚体动力学 刚体平面运动 解:1)受力分析如图所示 2)取如图所示固定坐标系, 2 则质心的坐标为 X C =-sin e 2 cose 质心的速度和加速度分别为 ecos日 ecos e Do _2 Vc esin e 02cos0-20sin e
解：1）受力分析如图所示。 2）取如图所示固定坐标系， 则质心的坐标为 质心的速度和加速度分别为 第七章 刚体动力学 刚体平面运动
第七章刚体动力学 刚体平面运动 列写平面运动微分方程: g sn 6+=0c0s6)=A 2 26268-26m=y2-P Y=sin e-X=co g 由这三个方 B=28an6少 (1 -cos a) 程可解出 2
由这三个方 程可解出： 列写平面运动微分方程： 第七章 刚体动力学 刚体平面运动
第七章刚体动力学 刚体平面运动 最后得到墙对杆的约束反力为 X4sm603c8-2)(当O=267时最大) 根据物理意义,这个力的大小应该总是正数。当 它等于零时,杆开始脱离墙的约束 杆脱离约束的条件为,xA=0,由此得出杆脱离约束的位置 3cos-2=0 即 2 e= arccos二=48.2° 3
最后得到墙对杆的约束反力为 根据物理意义，这个力的大小应该总是正数。当 它等于零时，杆开始脱离墙的约束。 第七章 刚体动力学 刚体平面运动 （当 = 26.7 0 时最大）
第七章刚体动力学 刚体平面运动 例7-8杂技演员使杂耍圆盘高速转动,并在地面 上向前抛出,不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟 前。求完成这种运动所需的条件?(设开始时盘心 速度为v,盘角速度为an,求v与an应该满足 的关系)
例7-8 杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面 上向前抛出，不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟 前。求完成这种运动所需的条件?(设开始时盘心 速度为 ，盘角速度为 ，求 与 应该满足 的关系) 0 v 0 0 v 0 0 v 0 o A 第七章 刚体动力学 刚体平面运动
第七章刚体动力学 刚体平面运动 解:设任意时刻质心速度为v,角速度为o, 圆盘半径为R,质量为m,与地面摩擦系数为 圆盘与地面接触点A的速度为 v4(t)=v(t)+RO() O 当v1>0时,有f=mg 由质心运动定理:m=-m-w=0-1g 由对质心的动量矩定理: t mR20=-mgR→→o=o-R
解：设任意时刻质心速度为 ，角速度为 ， 圆盘半径为R，质量为m，与地面摩擦系数为 圆盘与地面接触点A的速度为 v v (t) v(t) R (t) A = + 当 vA 0 时，有 f = mg 第七章 刚体动力学 刚体平面运动 0 v 0 o A v = v − gt mg 0 由质心运动定理： mv = − mR = −mgR 2 2 1 由对质心的动量矩定理： R gt 2 = 0 − f
第七章刚体动力学 刚体平面运动 V=Vo- ug R 可见,如果初始时刻v()=v+Roυ>0,则滑动 摩擦力的作用将使ν,ω减小,直至t=t时刻, 4(t)=0即v0-1gt+RO0-24gt=0由此可求出 I vo+ROo>0 31g t=t时,滑动摩擦力也与v同时变为零 并在此刻以后一直为零。(请考虑为什么?
0 3 * 0 0 + = g v R t 第七章 刚体动力学 刚体平面运动 v = v − gt 0 R gt 2 = 0 − 可见，如果初始时刻 ，则滑动 摩擦力的作用将使 v, 减小，直至 时刻， vA (t 0 ) = v0 + R0 0 * t = t ( ) 0 即 * vA t = 2 0 * 0 * v0 −gt + R − gt = 由此可求出 当 时，滑动摩擦力也与 同时变为零， 并在此刻以后一直为零。（请考虑为什么？） * t = t A v
第七章刚体动力学 刚体平面运动 因此当t>t时,由于圆盘在水平方向不受力, 而且相对质心的动量矩也为零,因此圆盘将作 等速纯滚动,即 v(t)=v(t')=(21o-Ro)/3 0()=0()=(o-2vo/R)/3 vA(t=v(t)+ Ra(t=0 2 可以滚回的条件为v()R
可以滚回的条件为 ( ) 0 即 * v t R v0 0 2 第七章 刚体动力学 刚体平面运动 因此当 时，由于圆盘在水平方向不受力， 而且相对质心的动量矩也为零，因此圆盘将作 等速纯滚动，即 * t t vA (t) = v(t)+ R(t) = 0 ( ) ( ) ( ) ( 2 / )/ 3 ( ) ( ) 2 / 3 0 0 * 0 0 * t t v R v t v t v R = = − = = −
第七章刚体动力学 刚体平面运动 例7-9长为21的均匀杆AB,以铰固连于A点 如果初始时杆自水平位置无初速度的开始运动, 当杆通过铅直位置时去掉铰使杆成为自由体 试分析杆的运动,并求去掉铰以后,杆的质心下 降h时,杆转了几圈?
例7-9 长为 的均匀杆AB，以铰固连于A点， 如果初始时杆自水平位置无初速度的开始运动， 当杆通过铅直位置时去掉铰使杆成为自由体。 试分析杆的运动，并求去掉铰以后，杆的质心下 降h时，杆转了几圈? 2l A C B x y 第七章 刚体动力学 刚体平面运动
