第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 §62第一积分与守恒定律 第一积分(首次积分、初积分) 定义:若运动微分方程 ar=F(, 7, 的任何一组解都满足: (, r,r=const (2) 则称表达式(2)是方程(1)的第一积分
第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 §6.2 第一积分与守恒定律 第一积分（首次积分、初积分） mr F(t,r,r) (1) = f (t,r,r) = const (2) 定义：若运动微分方程 的任何一组解都满足： 则称表达式（2）是方程（1）的第一积分
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 1)动量积分: P=F(O mv-mvo=1(t) 若7()=0则m=m。即v=i 例:F()=(sin),己=0 则v(2z)=v(0) 若F=0则mVx=mV20
若 Fx = 0 则 mvx = mvx0 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 1）动量积分： P F(t) = mv mv I (t) − 0 = 若 I (t) = 0 则 即 0 mv mv = 0 v v = v(2 ) v(0) 则 = F(t) = (sin t)e,e = 0 例：
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 2)动量矩积分(角动量积分 动量矩定理:G=M 定理成立的条件: 1)惯性参考系;2)O点为惯性坐标系中固定点 若M=0则G=常矢 由于 pop P 故质点的运动轨迹是一条平面曲线,所在平面 与G垂直
第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 动量矩定理： 定理成立的条件： 1) 惯性参考系；2) O点为惯性坐标系中固定点。 Go Mo = 2）动量矩积分（角动量积分） 若 则 常矢 由于 故质点的运动轨迹是一条平面曲线，所在平面 与 垂直。 Mo = 0 Go = ( ) p o p p v r mv ⊥ Go
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 又由于 2 Xmv re.x mtre. +roe p mr ope×eo ∴mr(= const 令S=r2为面积速度。故S= const 若M01=0则G=Gn·= const 3)能量积分 若力F有势,户=_V丌且x不显含t,则 T+丌=C0nst
mr = const 2 2 2 1 令 S = r 为面积速度。故 S = const 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 ( ) ( ) = = + = G r mv re m re r e mr e e o o p p r r r 2 又由于 Mox = 0 G G i const ox = o = 若 则 3）能量积分： 若力 F 有势， 且 不显含t，则 F = − T + = const
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 例6-1有心力作用下质点运动 F=F(e 由Mn=F×F=0可知:G=常矢 因此轨迹是平面曲线,且Gn=m2(=coms 势能:z()=-」F(1 能量守恒:1 m(i+r 0 +T=e=const
例6-1 有心力作用下质点运动 ( ) r F F r e = 势能： 能量守恒： (r) F(r)dr = − m(r + r )+ = E = const 2 2 2 2 1 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 G mr const o = = 因此轨迹是平面曲线，且 2 Go = 常矢 Mo = r F = 0 由 可知：
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 解出: E 2 d r=+ r.2mt rE-T-G dr q=qo±Gl r√2mr2(E-m)-G
解出： ( ) 2 2 2 2 mr G E r m r o = − − 2 mr Go = ( ) 2 2 2 o o m r E G G r d dr = − − ( ) − − = r r mr E Go r dr G 0 2 2 0 2 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 开普勒问题:F()=-2(≥0) 90×0rVmr(E-n)-(2 :如s、ah 2 9-90=千 2me 2mk u-u
开普勒问题： ( ) ( 0) 2 = − k r k F r ( ) o r r mr E Go r dr G − − = 0 2 2 0 2 + − − = 2 2 2 0 2 2 u u G m k G m E du o o 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 2 , 1 r dr du r 令： u = = − 则
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 as q-90= +arccos--s 2m mk2 4 其中 mk 2GE s=u P k k Cos(p-po)=S=(pu e e ∴F u 1+ecos(-Po)
+ − − = 2 4 2 2 2 0 2 s G m k G mE ds o o s e p = arccos 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 2 Go mk s = u − mk G p o 2 = 2 2 2 1 mk G E e o 其中 = + ( ) s ( pu ) e e p cos 1 / −0 = = − ( ) 0 1 cos 1 + − = = e p u r
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 比内( Binet方程): 在m(-r)=F()中,令v=2 +u 开普勒问题: ka
比内（Binet方程）： 在 m(r − r )= F(r) 中，令 2 r u 1 = 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 1 2 k u u F = − 开普勒问题： + = − u F G u m u d d u o 1 2 2 2 2 则
第六章质点动力学 第一积分与首恒定律 2+=-mh 对应的齐次方程为:4+4=0 齐次方程的通解为: uo =C, COS (+C, sin (= Acos(0-Oo 开普勒问题的特解为: mk G+Acos(()
( ) 2 0 = − + Acos − G mk u o 第六章 质点动力学 第一积分与首恒定律 2 2 2 Go mk u d d u + = − 对应的齐次方程为： u0 +u0 = 0 ( ) 0 1 2 0 u = c cos+ c sin = Acos − 齐次方程的通解为： 开普勒问题的特解为：