第一章点的运动学 曲线坐标描述 §1.5曲线坐标描述法 空间一点可以由三个独立变量q1(D),q2(),q3(t) (称为曲线坐标)来描述,该点的向径写成为 F()=f(q1(),q2(1),q3() 则该点的速度用曲线坐标表示为 v=r(t)
第一章 点的运动学 §1.5 曲线坐标描述法 空间一点可以由三个独立变量 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 q t q t q t (称为曲线坐标)来描述，该点的向径写成为 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 1 2 3 r t r q t q t q t = 则该点的速度用曲线坐标表示为 曲线坐标描述 3 3 2 2 1 1 ( ) q q r q q r q q r v r t + + = =
第一章点的运动学 曲线坐标描述 若令 ar H (i=1,2,3) 则 H 同理,点加速度也可以用曲线坐标写出来。 容易证明:如果相互垂直,则点加速度为a=∑ane 其中 1.d,m、c Hi dt aii a ∑(H1G1)2
第一章 点的运动学 曲线坐标描述 = = 3 i 1 q i v v e i = = 3 i 1 q i a a e i 其中 [ ( ) ] 1 i i i q q T q T dt d H a i = − = = = 3 1 2 2 ( ) 2 1 2 1 i Hi qi T v 容易证明：如果 i e 相互垂直，则点加速度为 则 q Hi qi v i = 同理，点加速度也可以用曲线坐标写出来。 i i i q r H e 1 = i i q r H = 若令 (i =1,2,3)
第一章点的运动学 曲线坐标描述 例题1.6试求柱坐标形式的速度和加速度公式。 解:令q1=,q2=0,q3=z则有 x= p cos p,y=pSn卯,2=2 H=1,Ho=P,H2=1 径向、横向和z方向速度为 p,Vo =pp, v 由此得T=(p2+p22+z2) 于是径向、横向和z方向加速度为 a=p-p, a=2po+pP, a,=Z
第一章 点的运动学 曲线坐标描述 v v v z z = , = , = 径向、横向和z方向速度为 由此得 ( ) 2 1 2 2 2 2 T = + + z 于是径向、横向和z方向加速度为 a a a z z = − , = 2 + , = 2 q = q = q = z 1 2 3 , , x = cos, y = sin ,z = z 解：令 则有： H =1, H = , Hz =1 例题 1.6 试求柱坐标形式的速度和加速度公式
第一章点的运动学 追击问题 §1.6追击问题 假设追击者只知道目标现在的位置,不能预知目标将来 的位置,因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置, 例如狗追兔子、导弹打飞机等。 B 追击者 目标
第一章 点的运动学 §1.6 追击问题 假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来 的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置， 例如狗追兔子、导弹打飞机等。 B A 目标 追击者 追击问题
第一章点的运动学 追击问题 由假设知 VR/R 又由R R 可得追击问题的 B 相对运动微分方程: 追击者 目标 R=vp-y B R/R 通常追击者速率是已知的,如果目标的速度或轨迹也是 已知函数,则求解上面微分方程可得相对运动轨迹 当R=0时,目标被击中或捕获
第一章 点的运动学 追击问题 由假设知 v A v A R/ R = B A R r r 又由 = − 可得追击问题的 相对运动微分方程： R v B v A R/ R = − 当 R = 0 时，目标被击中或捕获。 通常追击者速率是已知的， 如果目标的速度或轨迹也是 已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。 o A 目标 追击者 R B r A r B
第一章点的运动学 追击问题 例题17设靶机以水平速度l飞行,飞行高度为 h,地对空导弹从O点发射,其飞行速率为常数v, 试求相对飞行轨迹
第一章 点的运动学 追击问题 例题1.7 设靶机以水平速度 u飞行，飞行高度为 h，地对空导弹从o点发射，其飞行速率为常数v， 试求 相对飞行轨迹。 o h u v
第一章点的运动学 追击问题 解:根据已知条件,在图示平面 直角坐标系中有: 追击问题的相对运动微分方程:h =u-pX/√X2+y2 Y=-pY/√x2+y2 如何求解?
第一章 点的运动学 追击问题 解：根据已知条件，在图示平面 直角坐标系中有： = Y X R = 0 u v B v v A = 追击问题的相对运动微分方程： 2 2 X = u − vX / X +Y 2 2 Y = −vY / X +Y 如何求解？ x y o h v
第一章点的运动学 追击问题 若用极坐标系,则有: R ucos pp RERO B usn pp 于是追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成: dr ucos R=ucos -v Ro=-ucos rde usin p R=C sIn( p/2)/(u-u)/u cos(o/2) -(v+a)/u v/u 2Bo+V Bo+h2 /h("-)/ 结论?
第一章 点的运动学 追击问题 若用极坐标系，则有： = R R R − = sin cos u u v B = 0 v v A 于是追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成： R = ucos − v R = −ucos sin cos u u v Rd dR − − = v u u v u u R C ( )/ ( )/ sin( / 2) cos( / 2) − − + = v u v v u C xB xB h h ( )/ / 2 2 0 0 / 2 1 − = + + 结论？
第一章点的运动学 本章作业题 1.某点以常速率沿曲线运动,试证其速度与加速度垂直 2.一点在平面内运动,其速度为v,加速度为a=酝+b, 其中积谷别是常数和常向量。试证该点的加速度方向 不变。 3.一点沿空间曲线运动,其速度为v,加速度为a,试 证其轨迹的曲率半径为p=p3/×a ●4.某点的运动轨迹为平面曲线,其速度在y轴上的投影 始终是常数c,试证该点的加速度大小为a=p3/cp,其 中P为曲线的曲率半径,v为速率
第一章 点的运动学 本章作业题 1. 某点以常速率沿曲线运动，试证其速度与加速度垂直。 2. 一点在平面内运动，其速度为 ，加速度为 ， 其中 和 分别是常数和常向量。试证该点的加速度方向 不变。 3. 一点沿空间曲线运动，其速度为 ，加速度为 ，试 证其轨迹的曲率半径为 4. 某点的运动轨迹为平面曲线，其速度在 轴上的投影 始终是常数 ，试证该点的加速度大小为 ，其 中 为曲线的曲率半径， 为速率。 v a kv b = + k b v a v v a = / 3 y c a v / c 3 = v
第一章点的运动学 本章作业题 5.某点的运动规律为x= a cos bt,y= a sin bt,z=ct,其 中a,b,c均为常数,求该点的轨迹、速度和加速度。 6.一点在平面内运动,其径向速度为和横向速度分别为 和,试证该点的径向加速度和横向加速度分别为 an=12r-2g2/r,a=p(+/r) 7.一点沿半径为Ⅱ的球面等速运动,初始时刻该点位于 赤道上,速度ν与经线(子午线)的夹角c为常数。试 求该点到达球的顶点所需时间 8.飞机以等速V沿水平航线飞行,高度为H。当飞机在 正上空时,由地面发射一导弹,导弹始终瞄准飞机,且速 率为V。试证导弹追上飞机所需时间为2H/3
第一章 点的运动学 本章作业题 5. 某点的运动规律为 ， ， ，其 中 均为常数，求该点的轨迹、速度和加速度。 6. 一点在平面内运动，其径向速度为和横向速度分别为 和 ，试证该点的径向加速度和横向加速度分别为 ， 7. 一点沿半径为 的球面等速运动，初始时刻该点位于 赤道上，速度 与经线（子午线）的夹角 为常数。试 求该点到达球的顶点所需时间。 8. 飞机以等速 沿水平航线飞行，高度为 。当飞机在 正上空时，由地面发射一导弹，导弹始终瞄准飞机，且速 率为 。试证导弹追上飞机所需时间为 r v a x = acosbt y = a sin bt z = ct a,b, c a r r r / 2 2 2 = − a ( /r) = + V H 2V 2H /3V