第二章刚体运动学 平面运动 §2-3刚体平面运动 定义:刚体上所有点的运动始终平行于某个固定平面 例如,刚体定轴转动就是平面运动的一种。刚体在此平 面上的投影形成是一个平面图形,只要知道这个平面图 形的运动,刚体的运动就完全知道了 速度公式,加速度公式 设O是平面图形上的一点,其y\6 运动已知。选它为基点建立平 动坐标系O和固联坐标系 Oxy,则任意点p的速度和 加速度为:
第二章 刚体运动学 平面运动 §2-3 刚体平面运动 定义：刚体上所有点的运动始终平行于某个固定平面。 例如，刚体定轴转动就是平面运动的一种。刚体在此平 面上的投影形成是一个平面图形，只要知道这个平面图 形的运动，刚体的运动就完全知道了。 X y x Y o p r 速度公式，加速度公式 设 O 是平面图形上的一点，其 运动已知。选它为基点建立平 动坐标系 OXY 和固联坐标系 Oxy ， 则任意点 p 的速度和 加速度为：
第二章刚体运动学 平面运动 节=+Ok×F +k×r-0 若O点是平面图形上的固定点,则该平面运动就是 定轴转动。这时×产是切向加速度,-02F是 向心加速度。在O点速度不为零时,我们可以认为 这两项是相对0点的切向加速度和向心加速度
第二章 刚体运动学 平面运动 v v k r o = + a a k r r o 2 = + − 若 O 点是平面图形上的固定点，则该平面运动就是 定轴转动。这时 是切向加速度， 是 向心加速度。在 O 点速度不为零时，我们可以认为 这两项是相对 O 点的切向加速度和向心加速度。 k r r 2 − X Y o p r k r r 2 −
第二章刚体运动学 平面运动 瞬 定理:如果在给定时刻平面图形不作瞬时平动, 则在此瞬时平面图形(或其延拓部分)上存在唯 的一点,其速度为零,而其它点的速度就象 整个平面图形绕着这一点转动一样。该点称为 瞬时速度中心,简称瞬心 证明:设c=x+yj,则 VC=vo + Ok xroc=(vox-ey)i+(vov +Axj=o 显然只要0≠0,则xe,y有唯一解。 证完。 以瞬心为基点的速度公式为:节=Ok×F
第二章 刚体运动学 平面运动 瞬心 定理：如果在给定时刻平面图形不作瞬时平动， 则在此瞬时平面图形(或其延拓部分)上存在唯 一的一点，其速度为零，而其它点的速度就象 整个平面图形绕着这一点转动一样。该点称为 瞬时速度中心，简称瞬心。 证明：设 ，则 0 vc = vo + k ro c = (vo x −yc )i + (vo y + xc ) j = 0 r x i y j oc c c = + 显然只要 ，则 xc , yc 有唯一解。 证完。 以瞬心为基点的速度公式为： v k r =
第二章刚体运动学 平面运动 瞬心是给定时刻平面上速度为零的点,这一点的位置是 ●随时间变化的。瞬心在固定坐标系中的轨迹叫做定瞬心 轨迹,在固连的动坐标系中的轨迹称为动瞬心轨迹 如何求瞬心?1)几何法(如图所示),2)解析法 B B A
瞬心是给定时刻平面上速度为零的点，这一点的位置是 随时间变化的。瞬心在固定坐标系中的轨迹叫做定瞬心 轨迹，在固连的动坐标系中的轨迹称为动瞬心轨迹。 第二章 刚体运动学 平面运动 如何求瞬心？1）几何法(如图所示)，2）解析法 B A c A v B v c B v A v B A
第二章刚体运动学 平面运动 定理:在平面运动中,在某个时刻只要角速度和角加速度 有一个不为零,则平面图形(或其延拓部分)上存在唯一的 点,其加速度等于零。该点称为瞬时加速度中心。 证明:设=xi+yj,则该点加速度为: =aori +aov+kx(i+yj-e(xi+y) Ox 02x2+0y)+(ao1-02y+0x)=0 显然只要64+02≠0,则x2y2有唯一解。证完。 以加速度瞬心为基点的加速度公式为: d=k×F-02F
第二章 刚体运动学 平面运动 定理：在平面运动中，在某个时刻只要角速度和角加速度 有一个不为零，则平面图形(或其延拓部分)上存在唯一的 点，其加速度等于零。该点称为瞬时加速度中心。 证明：设 ， 则该点加速度为： ( ) ( ) 2 a a i a j k x i y j x i y j c o x o y c c c c = + + + − + ( ) ( ) 0 2 2 = ao x − xc + yc i + ao y − yc + xc j = 显然只要 4 + 2 0 ，则 xc , yc 有唯一解。证完。 r x i y j c c c = + 以加速度瞬心为基点的加速度公式为： a k r r 2 = −
第二章刚体运动学 平面运动 刚体平面运动的分析方法 例2.3梯子AB长1,一端靠在墙上, 如图所示。如将梯子下端A以等速 B u向右水平地拖动。求当梯子与墙 的夹角为30度时,B点的加速度和 杆的角加速度,并用l及u表示 A
第二章 刚体运动学 平面运动 刚体平面运动的分析方法 例2.3 梯子AB长 l，一端靠在墙上， 如图所示。如将梯子下端 A 以等速 u 向右水平地拖动。求当梯子与墙 的夹角为30度时，B 点的加速度和 杆的角加速度，并用 l 及 u 表示。 B A u l
第二章刚体运动学 平面运动 方法一:基点法 B 以A为基点,按加速度公式有 dn=a+Ek×F B ABO rAB 若取如图的固联坐轴标e和 则上式可写成为 lg=0+×e2-02le2 (El cos+olsin (p)i-(Elsin +lcos (p)j 这个向量式相当于两个方程,要从中解出s,a需知道o 利用速度公式可类似地得到一个向量式,可从中解出a: vBJ=ui +ok xle2=(u-olcos ( p)i-ol sin (pj
第二章 刚体运动学 平面运动 方法一：基点法 B A u l O y x 1 e 2 e 以 A 为基点，按加速度公式有 v j ui k le u l i l j B = + 2 = ( − cos) − sin B A A B A B a a k r r 2 = + − 若取如图的固联坐轴标 和 则上式可写成为 1 e 2 e 2 2 0 2 a j k le le B = + − l l i l l j ( cos sin ) ( sin cos ) 2 2 = − + − + 这个向量式相当于两个方程，要从中解出 需知道 。 利用速度公式可类似地得到一个向量式，可从中解出 ： aB ,
第二章刚体运动学 平面运动 方法二:瞬心法 根据已知条件,杆的瞬时速度中心位于图中的C点 由速度公式得 u u=vA=OAC=ol cos(pt> o COs 由A点加速度等于零可知,A点为 B 瞬时加速度中心。 8 an=ol=u /(lcos) ab=an/cos(=u/cOs ( El=a,=ag sin(p u sIn o COS
第二章 刚体运动学 平面运动 方法二：瞬心法 根据已知条件，杆的瞬时速度中心位于图中的 C 点。 由速度公式得 u = vA =AC =l cos = l cos u 由 A 点加速度等于零可知， A 点为 瞬时加速度中心。 B A u l O y x C n a t a /( cos ) 2 2 2 an = l = u l = = 2 3 a a / cos u / cos B n l = at = aB sin = 3 2 cos sin l u
章刚体运动学 平面运动 方法三:直接求导法 i OB=y(t, 0A=ut,(p=(p(t) 则有: t op(t)=arcsin B u t 根据定义可知:在任意时刻 (t)=j(t)j8(t)=()k 当Q=30时,t=t 2u aB(t)=t)()=(t)k具体运算如下:
第二章 刚体运动学 平面运动 方法三：直接求导法 设 OB=y(t) , OA=ut , 则有： = (t) B A u l O y x l ut (t) = arcsin 2 2 2 y(t) = l −u t a t y t j B ( ) = ( ) t t k ( ) = ( ) 根据定义可知：在任意时刻 当 时， 0 = 30 u l t t 2 * = = a t y t j B ( ) ( ) * * = t t k ( ) ( ) * * = 具体运算如下：
第二章刚体运动学 平面运动 为了得到y的两次导数,可以对下式求导两次: 12-12t t/√12-u2t y t yy
第二章 刚体运动学 平面运动 为了得到 y 的两次导数，可以对下式求导两次： 2 2 2 2 y = l − u t yy u t 2 = − 2 2 y + y y = −u 2 2 2 2 y = −u t / l −u t y (u y )/ y 2 2 = − +