理论力学 刚体运动学 李俊峰
理 论 力 学 李 俊 峰 ——刚体运动学
第二章刚体运动学 绝对刚体模型(简称刚体) 刚体的基本位移(运动) 平动:刚体上所有点的位移都相等,此时刚体模 型可以简化为质点。(例如作直线运动的汽车) 转动:可以通过刚体绕某个轴的旋转得到。可分 为定轴转动(例如门)和定点转动(例如玩具陀螺) 螺旋:转动和沿该转动轴的平动合成(例如钻头) 刚体一般位移(运动)是基本位移(运动)的组合
第二章 刚体运动学 绝对刚体模型（简称刚体） 刚体的基本位移（运动） 平动：刚体上所有点的位移都相等，此时刚体模 型可以简化为质点。(例如作直线运动的汽车) 转动：可以通过刚体绕某个轴的旋转得到。可分 为定轴转动(例如门)和定点转动(例如玩具陀螺)。 螺旋：转动和沿该转动轴的平动合成(例如钻头) 刚体一般位移(运动)是基本位移(运动)的组合！
第二章刚体运动学 刚体一般运动 §2-1刚体一般运动 向量、矩阵描述 设cXYZ是参考坐标系 OXYZ是平动坐标系 0yz是固联坐标系 y O是刚体上某个点, R 它的运动是已知的, Y称为基点。 y-Y 设p是刚体上任意一点, X R=R+r 我们要描述它的运动
第二章 刚体运动学 §2-1 刚体一般运动 向量、矩阵描述 o X y x Z Y z Z X Y c 设 cXYZ是参考坐标系 oxyz 是固联坐标系 oXYZ是平动坐标系 p R0 R 设 p 是刚体上任意一点， r O是刚体上某个点， 它的运动是已知的， 称为基点。 我们要描述它的运动。 刚体一般运动 R R r = 0 +
第二章刚体运动学 刚体一般运动 p点在参考系中的向径为:R=R+F 这三个向量在参考坐标系和固联坐标系中的列阵表示为: RRr和 rb Rb r他们之间的关系为 r=Ra+r R=R0+ 为了描述刚体上任意点的运动,需要将R或者R 与已知量建立联系。显然以下两个列阵是已知的 描述O点在参考系中位置, rb一描述p点在刚体上的相对位置
第二章 刚体运动学 这三个向量在参考坐标系和固联坐标系中的列阵表示为： 刚体一般运动 i R i r i R0 和 b r b R b R0 为了描述刚体上任意点的运动，需要将 i R i R0 b r 与已知量建立联系。显然以下两个列阵是已知的： — 描述O点在参考系中位置， — 描述p点在刚体上的相对位置。 他们之间的关系为： i i i R = R + r 0 b b b R = R + r 0 b 或者 R R R r p点在参考系中的向径为： = 0 +
第二章刚体运动学 刚体一般运动 下面的任务就是设法建立R0和Rb,或者r2和r 之间的关系。根据线性代数知识可知: 其中A是从固联系到平动系的变换矩阵,描述刚体的转动 如果已知矩阵A和刚体上某一个点的运动,则整个刚体上 任何一个点的运动都可以确定。由于A是直角坐标系之间 的变换矩阵,一定是正交矩阵,它的9个元素中只有三个 是独立的。因此完全描述刚体的运动需要六个独立参数, 三个描述平动,三个描述转动
下面的任务就是设法建立 之间的关系。根据线性代数知识可知： R i 0 和 R b 0 ，或者 r i 和 b r i b r = A(t)r 其中A是从固联系到平动系的变换矩阵，描述刚体的转动。 如果已知矩阵A和刚体上某一个点的运动，则整个刚体上 任何一个点的运动都可以确定。由于A是直角坐标系之间 的变换矩阵，一定是正交矩阵，它的9个元素中只有三个 是独立的。因此完全描述刚体的运动需要六个独立参数， 三个描述平动，三个描述转动。 第二章 刚体运动学 刚体一般运动
第二章刚体运动学 刚体一般运动 既然描述刚体绕O点转动的矩阵A的元素只有三个独立, ●就可以用三个参数来描述刚体的转动(给出A的表达式) 欧拉角就是常用的参数之 进动角:绕轴转V=<MON=<Y0M+2 章动角:绕N轴转θ=<MbL=<ZOz 自旋角:绕z轴转φ=<Nox=<Loy M 欧拉角与矩阵A的关系是: A=4,A4
既然描述刚体绕O点转动的矩阵A的元素只有三个独立， 就可以用三个参数来描述刚体的转动(给出A的表达式)。 欧拉角就是常用的参数之一。 o X y x Z Y z N M L 进动角：绕Z轴转 章动角：绕N轴转 自旋角：绕z轴转 = XoN = YoM = MoL = Zoz = Nox = Loy 欧拉角与矩阵A的关系是： A = A A A 第二章 刚体运动学 刚体一般运动
第二章刚体运动学 刚体一般运动 cos y -sin y O 10 0 sin y Cosy Ae=0 cos 0 -sin 0 0 sin e cos 0 cos (p -sin p 0 sin (P COS(P 0 注意:由于矩阵的乘法不具有可交换性,以不同的顺序 转动同样三个欧拉角后得到的变换结果一般是不同的
− = 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 A = − 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 A − = 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 A 注意：由于矩阵的乘法不具有可交换性，以不同的顺序 转动同样三个欧拉角后得到的变换结果一般是不同的。 第二章 刚体运动学 刚体一般运动
第二章刚体运动学 刚体一般运动 欧拉定理:定点运动刚体的任何位移都可以通过绕 着过定点的某个轴的一次转动实现 证明:不妨假设刚体上的O点是固定不动的,于是刚体 的任何位移都可以用某一个相对应的正交矩阵A来描述 该定理等价于:“这个矩阵A有一个特征值为1。与 这个特征值对应的特征向量就是那个转动轴,因为它在 固联坐标系和在参考坐标系中的列阵完全相同,即 下面就证明正交矩阵一定有一个特征值为
第二章 刚体运动学 欧拉定理：定点运动刚体的任何位移都可以通过绕 着过定点的某个轴的一次转动实现。 i b b r = Ar = r 下面就证明正交矩阵一定有一个特征值为 1。 刚体一般运动 证明：不妨假设刚体上的O点是固定不动的，于是刚体 的任何位移都可以用某一个相对应的正交矩阵A来描述. 该定理等价于：“这个矩阵 A 有一个特征值为 1” 。与 这个特征值对应的特征向量就是那个转动轴，因为它在 固联坐标系和在参考坐标系中的列阵完全相同，即
第二章刚体运动学 刚体一般运动 矩阵A的特征方程为: f(n)=det(a-a) 为了证明矩阵A的特征值为1,只需证明:f(1)=0 事实上: f(=det()=det(l-a)=det(a'(a-n) det( a)det(A-1)=1. det(a-I (-1)de(I-A)=-f(1)
第二章 刚体运动学 刚体一般运动 f () = det(I − A) 矩阵 A 的特征方程为： 为了证明矩阵 A 的特征值为 1，只需证明： f (1) = 0 f (1) det(I A) det(I A ) det(A (A I)) T T = − = − = − det(A )det(A I) 1 det(A I) T = − = − ( 1) det( ) (1) 3 = − I − A = − f 事实上：
第二章刚体运动学 刚体一般运动 我们还可以利用矩阵A求出一次性转动的转角a 取一个新的坐标系,它的原点也在O点,其Oz轴沿着 一次性转动的转轴方向,则绕此轴转动α角的变换由 下面矩阵给出: cos a -sin a 0 A=sin a cos a 0 矩阵A和A是同一个正交变换在不同坐标系中的矩阵, 因此它们应该是相似矩阵,它们的迹应该相等,亦即 +2c0s=a1+a22+a33
第二章 刚体运动学 我们还可以利用矩阵A求出一次性转动的转角 取一个新的坐标系，它的原点也在O点，其 OZ 轴沿着 一次性转动的转轴方向，则绕此轴转动 角的变换由 下面矩阵给出： − = 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 ~ A A ~ 矩阵 A 和 是同一个正交变换在不同坐标系中的矩阵， 因此它们应该是相似矩阵，它们的迹应该相等,亦即： 1 1 2 2 3 3 1+ 2cos = a + a + a 刚体一般运动