上次课内容回顾 约束及分类: 完整、非完整 定常、非定常 理想、非理想 、虚位移: 真实位移、可能位移、虚位移、虚功、自由度 可能位移与虚位移的关系
上次课内容回顾 一、约束及分类： 完整、非完整 定常、非定常 理想、非理想 二、虚位移： 真实位移、可能位移、虚位移、虚功、自由度 可能位移与虚位移的关系
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 三、广义坐标 只考虑完整约束情况。设N个质点组成的系统有l 个独立的完整约束: f、(x2…x3N2D)=0(S=12,7<3N) 3M O(千1, Jacobi矩阵J8(xy…) Ox 3N
三、广义坐标 ( ,..., , ) 0 ( 1,2,... 3 ) f s x1 x3N t = s = l N Jacobi矩阵 = = N l l N N l x f x f x f x f x f x x f f J 1 3 3 1 2 1 1 1 1 3 1 .. .. . . ... ( ,..., ) ( ,..., ) 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 只考虑完整约束情况。设N个质点组成的系统有l 个独立的完整约束：
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 由隐函数存在定理:若矩阵/的秩为即1个约束独 立,则由约束方程f=0可唯一的解出 81(x XX. 3N2 1) x=81(x1+12…,x3,t) 可见系统的位形由3N-个独立参数完全确定,而 不必用3N个。选取3N-个独立参数时,可以选3N 个坐标中的任何3N-个,也可以选取3-/个关于 的函数x3他们相互独立。例如:可取
由隐函数存在定理：若矩阵J的秩为l(即l个约束独 立)，则由约束方程 f s = 0 可唯一的解出 = = + + ( ,..., , ) : ( ,..., , ) 1 3 1 1 1 3 x g x x t x g x x t l l l N l N 可见系统的位形由3N-l个独立参数完全确定，而 不必用3N个。选取3N-l个独立参数时，可以选3N 个坐标中的任何3N-l个，也可以选取3N-l个关于 的函数，他们相互独立。例如：可取 N x x 1 3 ... 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 h2( n=3N-I xX 3N 如果有:h…h与f1,f,相互独立。即矩阵 0(12…,1,h12…,h 1…73 满秩。于是从∫=0及h=q中可唯一地解出
n N l h x x q h x x q n N n N = − = = 3 ( ,..., ) : ( ,..., ) 1 3 1 1 3 1 如果有： h1 ,...,hn 与 f 1 ,..., f l 相互独立。即矩阵 ( ,..., ) ( ,..., , ,..., ) 1 3 1 1 N l n x x f f h h 满秩。于是从 f s = 0 及 hi = qi 中可唯一地解出 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 x1=x1(q12…,qn,0 3N- 3Nq1……54n 简记为方=F(q12…,9n21)(=12…,N) 因此n个独立的参数a12…,9n完全确定了系统的位 形,称之为广义坐标 若约束都是定常约束,则一定可以选到q1…,4n使 F=F(④12…,qn)(=1,,N)
= = ( ,..., , ) : ( ,..., , ) 3 3 1 1 1 1 x x q q t x x q q t N N n n 简记为 ( ,..., , ) ( 1,..., ) ri = ri q1 qn t i = N 因此n个独立的参数 完全确定了系统的位 形，称之为广义坐标。 q qn ,..., 1 若约束都是定常约束，则一定可以选到 q1 ,...,qn 使 ( ,..., ) ( 1,..., ) ri = ri q1 qn i = N 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 广义速度:广义坐标对时间的导数q12…,n 广义加速度:广义坐标对时间的O 二次导数in,n O 例8-12双摆:如图所示。 X 选1,02为广义坐标 A 例8-13椭圆摆:如图所示 取xA2q为广义坐标 B
例8-12 双摆：如图所示。 o y 1 1 l 2 2 l x 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 选 1 ,2 为广义坐标 例8-13 椭圆摆：如图所示 y A x A l B x 取 xA , 为广义坐标 广义速度： 广义坐标对时间的导数 n q ,...,q 1 n q ,...,q 1 广义加速度： 广义坐标对时间的 二次导数
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 四、准坐标、准速度 如果系统除了受个完整约束f(x1,,x3N,1)=0外 还受到k个非完整约束 f(x1,…,x3N,1…,N,D)=0(r=1,…,k) ●根据l个完整约束我们选取q1…qn(n=3N-7) 为广义坐标,则 x,=x(q1…,9n,1)j=1,…,3N ax ∑。q at
四、准坐标、准速度 如果系统除了受l个完整约束 外 还受到k个非完整约束 f s (x1 ,..., x3N ,t) = 0 ( ,..., , ,..., , ) 0 ( 1,..., ) 1 3 1 3 f x x x x t r k r N N = = 根据l个完整约束我们选取 为广义坐标，则 ... ( 3 ) 1 q q n N l n = − 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 + = = = = n i j i i j j j j n t x q q x x x x q q t j N 1 1 ( ,..., , ) 1,...,3
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 代入非完整约東式可得 ∑A,(q12,qn,1)9+A0(q1,qn1)=0(x=1…,k) 可见广义速度q12,n之间相互不独立。 可以选取m=nk个412…,分n的函数,例如 ∑Bn(q1,,qn)S=1
代入非完整约束式可得 ( ,..., , ) ( ,..., , ) 0 ( 1,..., ) 0 1 1 1 A q q t q A q q t r k r n n i r i n i + = = = 可见广义速度 q 1 ,...,q n 之间相互不独立。 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 可以选取m=n-k个 q 1 ,...,q n 的函数，例如 B q q q s m n i s s i n i ( ,..., ) 1,..., 1 = 1 = =
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 如果Bn与41组成的方阵「4∈Rm是满秩的, B 则可唯一解出q=q(q12…,qn,x12,xn2t)i=1 丌1…,丌m称为准速度。丌1…,xn称为准坐标。 例如:描述刚体运动的角速度的三个分量,就 是三个准速度,它们是欧拉角及其对时间导数 的组合。 注意:准坐标的函数形式一般是不存在的,因 为一般∑B不是一个全微分形式,如角速度
如果 Bsi 与 Ari 组成的方阵 n n 是满秩的， si ri R B A 则可唯一解出 q i = q i (q1 ,...,qn , 1 ,..., m ,t) i =1,...,n 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步 1 ,..., m 称为准速度。 1 ,..., n 称为准坐标。 注意：准坐标的函数形式一般是不存在的，因 为一般 Bsiq i 不是一个全微分形式，如角速度。 例如：描述刚体运动的角速度的三个分量，就 是三个准速度，它们是欧拉角及其对时间导数 的组合
第八章分析动力学初步 约束、虚位移 例8-14纯滚的球 广义坐标:x2y2v,,9 非完整约束 x-r(sin cos -0cos)=0 j+r( sin sin卯+bsnq)=0 选准速度 丌3=O2=vcos6+q
例8-14 纯滚的球 广义坐标: 非完整约束 xc , yc ,,, + + = − − = ( sin sin sin ) 0 ( sin cos cos ) 0 y r x r c c 选准速度 = = + = = cos 3 2 1 z c c y x 约束、虚位移 第八章 分析动力学初步