上次课问题 例8-15建立如图所示系统的运动微分方程。 约束方程为:y=-,y2=F x+x2=const 1=2=0,x1+aix2=0 (m4g-m1x1)1+(m2g-m22)Dx2=0 十远2=0∴:[(m2-m)g-(m+m1)212=0 由于&是任意的,可以得出运动微分方程: (m+m2)x2=(m2-m1)g 若约束仅为绳不可伸长,怎么办?
例8-15 建立如图所示系统的运动微分方程。 (m1 g −m1 x 1 )x1 +(m2 g −m2 x 2 )x2 = 0 约束方程为： , 1 y = −r y1 =y2 = 0, x1 +x2 = 0 ( ) ( ) 0 m2 −m1 g − m1 +m2 x 2 x2 = 上次课问题 x + x = const 1 2 y = r 2 由于 x2 是任意的，可以得出运动微分方程： (m1 +m2 ) x 2 = (m2 −m1 )g o x m1 m2 y 若约束仅为绳不可伸长，怎么办？ x 1 + x 2 = 0
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 ●§8-2第二类拉格朗日方程及其应用 第二类拉格朗日( Lagrange)方程 用广义坐标表示的完整系统的动力学普遍方程 对于完整系统,如果用3N个笛卡儿坐标描述,由 ●于3N个坐标受约束而不能独立变化,任何一组虚 位移δx1,δy1,δz1,…,6x,6y,6二都不是独立 的;如果用n个广义坐标描述,由于广义坐标是独 立的,任何一组虚位移δq,…,.qn都是独立的
§8-2 第二类拉格朗日方程及其应用 一、第二类拉格朗日(Lagrange)方程 用广义坐标表示的完整系统的动力学普遍方程。 Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 N N N x , y , z , ... , x , y , z 1 1 1 对于完整系统，如果用3N个笛卡儿坐标描述，由 于3N个坐标受约束而不能独立变化，任何一组虚 位移 都不是独立 的；如果用n个广义坐标描述，由于广义坐标是独 立的，任何一组虚位移 q1 , ... , qn 都是独立的
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 因此,如果我们将动力学普遍方程 ∑(F7-m12)·元=0 借助关系式=F(q129n21)表示成 ∑Lq1=0 则由 6qn的独立性可得n个独立方程: L.=0.t=1 具体写出L=0的形式,就是第二类拉格朗日方程 二:简称拉氏二类方程/拉格朗日方程拉氏方程
Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 ( ) 0 1 − = = i N i i i i F m r r 因此，如果我们将动力学普遍方程 ( ,... , ) 1 r r q q t i i n 借助关系式 = 表示成 0 1 = = i n i Li q 则由 q1 , ... , qn 的独立性可得n个独立方程： Li = 0 , i =1,..., n 具体写出 Li = 0 的形式，就是第二类拉格朗日方程。 简称拉氏二类方程 / 拉格朗日方程 / 拉氏方程
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 下面就是具体推导 Lagrange方程的过程: 由=F(q12…qn21)可得: →∑FδF=∑(∑F 0r1)64/=∑Q,84j Q1=∑ 称为对应广义坐标9的广义力。 ∑m67=Σm1)5q1=∑Zq 下面具体写出Z
Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 j n j j i i q q r r 1 = = 下面就是具体推导Lagrange方程的过程： 由 ri ri (q1 ,...qn ,t) 可得： = j n j j j j i n j N i i i N i i q Q q q r F r ( F ) 1 1 1 1 = = = = = = = = = = = = n j j j j j i i n j N i i i N i i i q Z q q r m r r m r 1 1 1 1 ( ) 下面具体写出 Z j 称为对应广义坐标 qj 的广义力。 j i N i j i q r Q F = = 1
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 ∑ or d e minaj 利用分部积分一下面证明拿下面证明拿 ∑m ;|d,T、oT i=1 aqil dt aq aq 其中T=∑m12为系统的动能
Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 j i i N i j i q r Z m r = = 1 j i i N i i j i N i i i q r dt d m r q r m r dt d − = = = 1 1 ( ) j i q r j i q r 下面证明 下面证明 j i N i i i j N i j i i q r m r q r m r dt d Z − = = = 1 1 ( ) j qj T q T dt d − = ( ) 利用分部积分 2 1 2 1 i i N i T = m r = 其中 为系统的动能
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 由=r(q12…qn21)可得: : 02n aqk j=10q, aqk aqua Ce jt at ogk it oak
Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 t r q q r r i j n j j i i + = = 1 由 ri ri (q1 ,...qn ,t) 可得： = ( ) ( ) 1 k i j k i n j j q r t q q r q + = = ( ) k i q r dt d = j i j i q r q r = q t r q q q r q r k i j n j j k i k i + = = 2 1 2
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 ∑(F7-m1)·6F=∑(1-2)5q1=0 d.OT、aT )-=g,(j=1,…,n) dt a ●这就是第二类 Lagrange方程。 ●思考题:第二类 Lagrange方程的适用条件是什么? 为什么? 约束:理想、完整
Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 ( ) ( ) 0 1 1 − = − = = = j j n j i i j N i Fi m r r Q Z q ( ) Q ( j 1,...,n) q T q T dt d j j j = = − 这就是第二类Lagrange方程。 思考题：第二类Lagrange方程的适用条件是什么？ 为什么？ 约束：理想、完整
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 二、广义力的求法 ●(1)按定义(解析法) ∑ ∑(X+ az 例8-17双摆如图所示。设A、B球质量为m,m2, 杆OA、AB无质量。若取角g1和φ2为广义坐标, 求相应的广义力Q=? X 1、A B y
二、广义力的求法 (1)按定义(解析法) ( ) 1 1 j i i j i i j i N i i j i N i j i q z Z q y Y q x X q r Q F + + = = = = Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 x y 1 2 o A B 1 l 2 l 例8-17 双摆如图所示。设A、B球质量为 ， 杆OA、AB无质量。若取角 和 为广义坐标， 求相应的广义力 = ? Qi 1 2 1 2 m , m
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 解:主动力 O X F=m,g, F2=m2g B V1=l P1 V2=l CoS p1+l2 cos p2 Q1=∑ ∑ -(m,+m2)gl, sin Q2=∑F·=∑F gl2 sin p 00
解：主动力 F m gj F m gj 1 1 2 2 = , = 2 1 1 2 2 1 1 1 cos cos cos , y l l y l = + = = − = = = − + = = = = = = 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 sin ( ) sin i i i i i i i i i i i i m gl y F r Q F m m gl y F r Q F Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 x y 1 2 o A B 1 l 2 l
第八章分析动力学初步 Lagrange方程 例8-18在上个例子中,若两个均质杆的质量分 别为m2m2,小球无质量,求广义力Q=? 解:在两个杆上分别任取一点,它们受主动力为 1g 128 91 A 2 Vli=p1 cos p1 y2i=l cos p1+p2 cos p2 B
解：在两个杆上分别任取一点，它们受主动力为 d j l m g F (d )j l m g F dm gj i i ( ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = = = 2 1 1 2 2 1 1 1 cos cos cos , = + = y l y i i Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 例8-18 在上个例子中，若两个均质杆的质量分 别为 ，小球无质量，求广义力 = ? 1 2 Qi m , m x y 1 2 o A B 1 l 2 l F1i F2i