《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第六章 质点动力学（6.3）质点在非惯性系中的运动

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 §6-3质点在非惯性系中的运动 √非惯性系中的质点运动微分方程 a=ar tac =F/m-a-a √相对地球的运动 地球自转角速度:O=7×103/s) 火车、汽车等的速度: 120km/h=33m/s a.=02R≤72×1010×7×106≤4×10-2 a.≤2×33×7×105≤5×10-3

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 §6-3 质点在非惯性系中的运动 非惯性系中的质点运动微分方程 相对地球的运动 地球自转角速度： 火车、汽车等的速度： a ar ae ac     ma F = + +   = ar F m ae ac      = / − − 7 10 (1/s) −5  =  v km h m s r =120 / = 33 / 5 3 2 33 7 10 5 10 − − ac       2 2 1 0 6 2 7 10 7 10 4 10 − − ae = R      

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 √常规力:F=mg,F/m=g≈10 e/≈10-4 8≈10 对于精度要求不高,时间间隔短的工程问题, 可以认为an≈0,a≈0则a=a,md=mdn=F 与惯性系中的动力学一样处理。 对于精度要求高或时间间隔长的问题,例如: 发射洲际导弹。a,a。不能忽略。必须研究非惯 性系中的动力学问题

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 常规力： F = mg,F / m = g 10 4 3 / 10 , / 10 − − ae g  ac g  ae  0, ac  0 a ar ma mar F      = , = = ae ac , 对于精度要求不高，时间间隔短的工程问题， 可以认为 则 与惯性系中的动力学一样处理。 对于精度要求高或时间间隔长的问题，例如： 发射洲际导弹。 不能忽略。必须研究非惯 性系中的动力学问题

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 例64匀加速运动汽车中的单摆 mr=T+mg+(ma 7+m(-a) Vz→ g ta

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 例6-4 匀加速运动汽车中的单摆 mr T mg ( ma)      = + + − T m(g a)    = + − l g a l g 2 2 +  =  =  T  ma  mg 

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 例6-5自由落体相对地球的运动 orth pole 解:运动微分方程为: mr=-mgk-2mo×F 、八,y(MOrh) 取东北天坐标系0xyz, least 如图所示,初始时刻 O 物体在O点的正上方 i=2a(sin -Ecos )(=(0)=h y=-2axsin x(0)=y(0)=0如何求解? seli=-g+2ox cos p x(0)=y(0)=2(0)=0

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 例6-5 自由落体相对地球的运动 mr mgk m r       = − − 2   解：运动微分方程为： 取东北天坐标系oxyz， 如图所示，初始时刻 物体在 o点的正上方。   North poley(North) z x(east)  o  x  = 2(y sin  − z  cos)  y  = −2x sin   z  = −g + 2x  cos x(0) = y(0) = 0 如何求解？ x (0) = y (0) = z (0) = 0 z(0) = h

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 求解方法:近似解法,数值积分法 1)近似解法:考虑到解必定 与0有关,0又是小量,可以 将解写成0的幂级数形式: i=2o(jsin -cos p) F()=∑01() y=-2axsin 8+ 2ox cos p ●其中()满足方程和初始条件: 0 =0 二0(0)=h yo=0(即令原方程 x0(0)=y0(0)=0 中O=0) 0=-8 (0)=1o(0)=0(0)=0

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 求解方法：近似解法，数值积分法 1）近似解法：考虑到解必定 与 有关， 又是小量，可以 将解写成 的幂级数形式：    ( ) ( ) 0 r t r t i i  i  =   = 其中 r0 (t) 满足方程和初始条件：   x  0 = 0  y  0 = 0  z  0 = −g x0 (0) = y0 (0) = 0 x  0 (0) = y  0 (0) = z  0 (0) = 0 z (0) = h 0 (即令原方程 中 = 0 )  x  = 2(y sin  − z  cos)  y  = −2x sin   z  = −g + 2x  cos

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 而(t)=1,2,)满足方程和初始条件: mr;=-mgk-2mo x 7(0)=(0)=0 显然,零次近似解就是不考虑地球自转时的自由 落体的解。一次近似解为: Xo+x got cos>0 y+y1=0 结论:从一次近似解 可以看出,落体偏东。 0 h g 2

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 而 ri (t) （ ） 满足方程和初始条件：  i =1,2,... i = − −2  i−1 mr mgk m r       ri (0) = ri (0) = 0    显然，零次近似解就是不考虑地球自转时的自由 落体的解。一次近似解为： cos 0 3 1 3 x0 + x1 = gt   y0 + y1 = 0 2 0 1 2 1 z + z = h − gt 结论：从一次近似解 可以看出，落体偏东

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 二次近似解中的y为: 24 1212 o gt sin z(p 结论:从二次近似解可以看出,在北半球,φ>0 落体偏东南;在南半球,Q<0落体偏东北

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 二次近似解中的 y 为： + + = −  sin 2 12 1 2 4 y0 y1 y2 gt 结论：从二次近似解可以看出，在北半球， 落体偏东南；在南半球， 落体偏东北。   0   0

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 2)数值积分结果: 在数值计算中地球角速度取7e-5,h=100m, 位置在北纬40度。 16 0.0 -0.4 e 8 0.8 ×4 1.6 0 Time(s) Time(s)

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 0 1 2 3 4 5 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 Y (10-3mm) Time (s) 0 1 2 3 4 5 0 4 8 12 16 X (mm) Time (s) 2）数值积分结果： 在数值计算中地球角速度取7e-5，h=100m， 位置在北纬40度

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 思考题:若上抛小球,小球x=20(sm0-icos) 上升时会偏向哪个方向?{j=-2osim 小球回落时呢? =-g+2@x cos 零次近似解x=y=0,0=V1-gt 次近似解x=-20(V-81)cosq 解出x1=0(gz2/3-nl)cosq 上升过程n4-g2/3>-g2/2=0>0x1<0偏西 二下落过程W-8325:0仍偏西,怎么理解?

第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 思考题：若上抛小球，小球 上升时会偏向哪个方向？  x  1 = −2(v0 − gt)cos /3 / 2 0 0 2 0 2 上升过程 v0 t − gt  v t − gt = z  小球回落时呢？ /3 0 0 2 下落过程 v0 t − gt  z  2 0 0 0 0 2 1 零次近似解 x = y = 0, z = v t − gt 一次近似解  x  = 2(y sin  − z  cos)  y  = −2x sin   z  = −g + 2x  cos =  ( /3− 0 )cos 2 1 解出 x t gt v t x1  0 偏西； 仍偏西。 怎么理解？

第六章质点动力学 在非惯性系中运动 弹道偏差: 北半球,右偏 南半球,左偏 第一次世界大战,英德在马尔维纳斯群岛发生 海战

北半球，右偏； 南半球，左偏。 第一次世界大战，英德在马尔维纳斯群岛发生 海战…... 第六章 质点动力学 在非惯性系中运动 v    弹道偏差：