例6-5-3求图示刚架D截面的竖向位移△py。 各杆EI=常数。 51 20 Fp=2kN q=10kN/m B C、、 5 2E] B EJ 6m A 十A Fp=1 D B 6m 3m A 解:△D=(51×6/2)2×3/3)-(20×6/2)(3/3) (23)(10×62×6/8)3/2)EI =237/EI()
例6-5-3 求图示刚架Ｄ截面的竖向位移 DDV 。 各杆EI=常数。 解：DDV= [(51×6/2)(2×3/3)- (20×6/2)(3/3) -(2/3)(10×6 2×6/8)(3/2)]/EI = 237/EI(↓)
三、静定桁架的位移计算 d位移计算公式:△=∑ FNC FNPIEA(6-42) 例6-4-2求图示桁架D点的竖向位移△和CD杆 的转角θ。 Fp=20KN、C FAx=Fp A>(23.3)(23.3)Bm/ Fp=20kNT FAy=iFoam 8 Fp 4m 8
三、静定桁架的位移计算 位移计算公式：D = ∑FNC FNPl/EA (6-4-2) 例6-4-2 求图示桁架Ｄ点的竖向位移DDV和ＣＤ杆 的转角
解:1)计算Fp、FNc 3)代入公式求位移 △Dv=[(5/6)(-4.2)×5+(-5/6)(-292)×5 +1X20×3+(23)(233)×4×2)/EA =2643×103m() 0=[(-5/24)-42)×5+(5/24)(-292)×5 +233×46-233×4/6/EA 3052×103) 8 Ax=0 A B FAX=O D Fp A 1 2 8 8
解:１）计算FNP、FNC ３）代入公式求位移 DDV= [(-5/6)(-4.2)×5+(- 5/6)(-29.2)×5 +1×20×3+(2/3)(23.3)×4×2)]/EA = 2.643×10-3 m(↓) = [（-5/24)(-4.2) ×5+(5/24)(-29.2)×5 +23.3×4/6-23.3 ×4/6 ]/EA = -3.052× 10-3 ()
说明:在计算桁架某杆件的角位移或某两个杆件 的相对角位移时,虚单位力偶是设在相应杆两端 的且与杆轴垂直的一对大小相等方向相反得一对 平行力,力的值为1/d(d为杆长)
说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两个杆件 的相对角位移时，虚单位力偶是设在相应杆两端 的且与杆轴垂直的一对大小相等方向相反得一对 平行力，力的值为1/d(d为杆长）
§6-8线性变形体的互等定理 功(虚功)互等定理 第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的外 力虚功,等于第二种状态的力在第一种状态的位移 上所作的外力虚功。 P1412-P2421 (6-8-1) p 2 △21 12 状态I 状态Ⅱ
§6-8 线性变形体的互等定理 一、功（虚功）互等定理 第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的外 力虚功，等于第二种状态的力在第一种状态的位移 上所作的外力虚功。 FP1D12=FP2D21 (6-8-1) 状态Ⅰ 状态Ⅱ
c证明: 根据变形体的虚功原理,状态I的力系在状 态Ⅱ的位移上所作的虚功应满足Wrm=Vrn 即: P1412 ∑(MM2/EDds 状态Ⅱ的力系在状态I的位移上所作的虚功应满 足即 P222 ∑(M2M1EDds 显然有:FP1△12=FP2△21 得证 注意:为简化起见,证明中内力虚功只考虑了弯矩 作功一项
证明： 根据变形体的虚功原理，状态Ⅰ的力系在状 态Ⅱ的位移上所作的虚功应满足 WⅠⅡ=V ⅠⅡ 即： FP1D12= ∑∫(M1M2 /EI) ds 状态Ⅱ的力系在状态Ⅰ的位移上所作的虚功应满 足： W Ⅱ Ⅰ=V Ⅱ Ⅰ 即： FP2D21= ∑∫(M2M1 /EI) ds 显然有： FP1D12= FP2D21 得证。 注意：为简化起见，证明中内力虚功只考虑了弯矩 作功一项
、位移互等定理 由FP1=1引起的沿Fp2作用点及方向上的位移,等 于由FP2=1引起的沿F1作用点及方向上的位移。即 12-021 (6-8-2) Fp1=1 021 FD2=1 (b) 2 612 证明:根据功的互等定理Fp1△12=FP2△21 对图(a)、(b),有 812=821
证明： 根据功的互等定理 FP1D12= FP2D21 对图（a）、（b），有： d12=d21 二、位移互等定理 由FP1=1引起的沿FP2作用点及方向上的位移，等 于由FP2=1引起的沿FP1作用点及方向上的位移。即： d12=d21 (6-8-2) (b) (a) 1
注意:812=△12/Fp2叫位移影响系数,是有单位 的量;等号两侧的系数可同是线位移,同是角位移, 也可一个是线位移而另一个是角位移。 Fp1=1 12-021 位移影响系数具有单位 O21 形式: 均为力时 (c) 长度/力=长度/力; 均为力矩时 弧度/(力×长度) 82 2 弧度/(力×长度 力和力矩 长度/(力×长度) 弧度/力
注意： d12＝D12／FP2 叫位移影响系数，是有单位 的量；等号两侧的系数可同是线位移，同是角位移, 也可一个是线位移而另一个是角位移。 (c) (d) d12=d21 位移影响系数具有单位 形式： 均为力时 长度／力＝长度／力； 均为力矩时 弧度／（力×长度） ＝弧度／（力×长度） 力和力矩 长度／（力×长度） ＝弧度／力；
反力互等定理 由于支座1发生位移△1=1引起的沿支座2方向的 支座反力,等于由于支座2发生位移△2=1引起的沿 支座方向的支座反力。即 12-121 (6-8-3) r21 2 r12
三、反力互等定理 由于支座1发生位移D1=1引起的沿支座2方向的 支座反力，等于由于支座2发生位移D2=1引起的沿 支座方向的支座反力。即： r12=r21 (６-８-3) (b) (a)
小反力影响系数r12=R12D2是有单位的量。 r12 (c) 2 (d) r21 形式: 均为线位移时力/长度=力/长度; 4均为角位移时(力×长度)/弧度 (力×长度)/弧度 角位移和线位移(力×长度)/长度=力/弧度
反力影响系数 r12=R12/D2 是有单位的量。 形式： 均为线位移时 力／长度＝力／长度； 均为角位移时 （力×长度）／弧度 ＝ （力×长度）／弧度； 角位移和线位移 （力×长度）／长度＝力／弧度。 (d) (c)